TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Konversatorium SS07 (vermischt mit SS08)/Mi1Prüfung, Urbanek

Urbanek, 18.04.07:

1.) (wie Beispiel 11) $f(x)=(x^{2}+ax+a+1)*e^{ax}$ , wie ist a zu wählen, dass bei x0=0 - > streng monoton fallend?

2.) (wie Beispiel 48) $\int {\frac {3e^{x}+4}{e^{2x}+1}}dx$

Urbanek, 07.11.07:

1a.) (wie Beispiel 19) Berechne $\int _{-1}^{3}f(x)dx$ , wobei, $f(x)={\begin{cases}x,&(x\leq 1)\\1,&(x>1)\end{cases}}$

2a.) (wie Beispiel 48) Berechne $\int {\frac {2x^{2}+3x+4}{x(x^{2}+1)}}dx$

1b.) (wie Beispiel 19) Berechne $\int _{-2}^{2}f(x)dx$ , wobei, $f(x)={\begin{cases}1,&(x\leq 1)\\2-x,&(x>1)\end{cases}}$

2b.) (wie Beispiel 48) Berechne $\int {\frac {4x^{2}-x+6}{x(x^{2}+1)}}dx$

Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1.b) $\int _{-2}^{1}(1)+\int _{1}^{2}(2-x)=x\vert _{-2}^{1}+2x\vert _{1}^{2}-{\frac {x^{2}}{2}}\vert _{1}^{2}=-(-2)+1+(4-2)-(2-{\frac {1}{2}})={\frac {7}{2}}$

Achtung: gefragt ist das bestimmte Integral, nicht die Fläche! Flächen unterhalb bzw. Oberhalb der x-Achse neutralisieren sich.

Auf Vorzeichen achten!

2b) Partialbruchzerlegung:

  ${\frac {4x^{2}-x+6}{x(x^{2}+1)}}$  zerlegt   ${\frac {A}{x}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+1}}$

Achtung bei der Partialbruchzerlegung auf die Potenzen!

Umgruppieren nach Potenzen

  $4x^{2}-x+6=$   $A\cdot (x^{2}+1)+Bx+Cx=x^{2}(A+B)+Cx+A$

gibt A + B = 4 C = -1 und A = 6 daher B = -2

  =  ${\frac {6}{x}}-{\frac {-2x}{x^{2}+1}}+{\frac {-1}{x^{2}+1}}={\frac {6}{x}}+{\frac {2x}{x^{2}+1}}-{\frac {1}{x^{2}+1}}$

integriert gibt das dann Folgendes:

  ${\frac {6}{x}}=6\cdot {\frac {1}{x}}=6\cdot ln(x)$  ,    $-{\frac {2x}{x^{2}+1}}$  in der Form  ${\frac {f'(x)}{f(x)}}=-ln(x^{2}+1)$ ,     $-{\frac {1}{x^{2}+1}}=-arctan(x)$ 
 somit  $6\cdot ln(x)-ln(x^{2}+1)-arctan(x)+c$