TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Konversatorium SS07 (vermischt mit SS08)/Mi1Prüfung (Karigl)

Karigl 18. April 2007:

Bsp 1.: Berechnen Sie $\int (1+2\sin x)^{3}\cdot cosx\ dx$

Bsp 2.: Wählen Sie $c$ so, daß $\int c\cdot x\cdot e^{-x}\ dx=1$

Lösung Bsp.1

Substitutionsregel

$\int f{\bigl (}u(x){\bigr )}\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du$ mit $u=u(x)$   (Satz 5.41)

$\int (\underbrace {1+2\sin x} _{\overset {u}{\to du=2\cos x\ dx}})^{3}\cdot \cos x\ dx={\tfrac {1}{2}}\int u^{3}\ du={\tfrac {1}{2}}\cdot {\frac {u^{4}}{4}}={\frac {u^{4}}{8}}={\frac {(1+2\cdot \sin x)^{4}}{8}}\;(+C\in \mathbb {R} )$

Lösung Bsp.2

Partielle Integration

Partielle Integration

$\int u\;dv=uv-\int v\;du$ alias $\int u(x)\;v'(x)=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)$ $\int _{0}^{\infty }c\cdot x\cdot e^{-x}\ dx=1$ $u=x,u'=1$ $v=e^{-x},v'=-e^{-x}$ $\underbrace {c\cdot x\cdot (-e^{-x})|_{0}^{\infty }} _{0-0}-c\cdot \int _{0}^{\infty }1\cdot (-e^{-x})\ dx=c\cdot (-e^{-x})|_{0}^{\infty }=0+c\cdot 1\Rightarrow c=1$