TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Konversatorium SS07 (vermischt mit SS08)/Mi1Prüfung (Karigl)

Karigl 18. April 2007:

Bsp 1.: Berechnen Sie $\int (1+2\sin x{)}^3\cdot cosxdx$

Bsp 2.: Wählen Sie $c$ so, daß $\int c\cdot x\cdot e^{-x}dx=1$

Lösung Bsp.1

Substitutionsregel

$\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$ mit $u=u(x)$   (Satz 5.41)

$\int (\underset{\stackrel{u}{\to du=2\cos xdx}}{\underbrace{1+2\sin x}}{)}^3\cdot \cos xdx=\frac{1}{2}\int u^{3}du=\frac{1}{2}\cdot \frac{u^4}{4}=\frac{u^4}{8}=\frac{(1+2\cdot \sin x{)}^4}{8}(+C\in ℝ)$

Lösung Bsp.2

Partielle Integration

Partielle Integration

$\int udv=uv-\int vdu$ alias $\int u(x)v^{\prime }(x)=u(x)v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)$ ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}c\cdot x\cdot e^{-x}dx=1$ $u=x,u^{\prime }=1$ $v=e^{-x},v^{\prime }=-e^{-x}$ $\underset{0-0}{\underbrace{c\cdot x\cdot (-e^{-x}){|}_0^{\mathrm{\infty }}}}-c\cdot {\int }_0^{\mathrm{\infty }}1\cdot (-e^{-x})dx=c\cdot (-e^{-x}){|}_0^{\mathrm{\infty }}=0+c\cdot 1\Rightarrow c=1$