TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Konversatorium SS07 (vermischt mit SS08)/Mi3Prüfung (Karigl)

Karigl 20. Juni 2007:

Bsp. 1: Man überprüfe, ob ein Gradientenfeld vorliegt, und bestimme ggf. die Stammfunktion:

$\overrightarrow{f}(x,y)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{-2x{e}^{-x^2}+2\cos y}{-2x\sin y+2\cos y})$ Bsp. 2: Man bestimme alle Lösungen von $a_{n+1}-2a_n+3=0,n\ge 0$

Lösung Bsp. 1

Integrabilitätsbedingung: $\overrightarrow{f}(x,y)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{f}{g})$, $f_y\stackrel{?}{=}{g}_x$:

$-2\sin y=-2\sin y\surd \text{Gradientenfeld}\Rightarrow \mathrm{\exists }F(x,y)\text{ als Stammfunktion}$

1. $F=\int fdx=\int (-2x{e}^{-x^2}+2\cos y)dx=e^{-x^2}+2\cos y+c(y)$
2. $F_y\overrightarrow{=}g:0-2x\sin y+c^{\prime }(y)=-2x\sin y+2\cos y$

$c(y)=\int 2\cos ydy=2\sin y+d$

$⟹F=e^{-x^2}+2x\cos y+2\sin y+d,d\in ℝ$

Lösung Bsp. 2

• Homogen: $a_{n+1}=2a_n⟹a_n^{(h)}=2^n\cdot C$
• Inhomogen: Störfunktion=3 $⟹a_n^{(p)}=A$

$A-2A+3=0\Rightarrow A=3$

$⟹n=a_n^{(h)}+a_n^{(p)}=C\cdot 2^n+3,n\ge 0$

Koneç

So einfach?) hätt's gewesen sein können, wenn's nicht so heiß gewesen wäre :-).

Testergebnisse sollten (~1 Woche) auf www.algebra.tuwien.ac.at auftauchen.

GL!