TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Konversatorium SS07 (vermischt mit SS08)/Mi3Prüfung (Karigl)

Karigl 20. Juni 2007:

Bsp. 1: Man überprüfe, ob ein Gradientenfeld vorliegt, und bestimme ggf. die Stammfunktion:

${\overrightarrow {f}}(x,y)={-2xe^{-x^{2}}+2\cos y \choose -2x\sin y+2\cos y}$ Bsp. 2: Man bestimme alle Lösungen von $a_{n+1}-2a_{n}+3=0,\quad n\geq 0$

Lösung Bsp. 1

Integrabilitätsbedingung: ${\overrightarrow {f}}(x,y)={f \choose g}$, $f_{y}{\overset {?}{=}}g_{x}$:

$-2\sin y=-2\sin y\quad \surd {\text{Gradientenfeld}}\Rightarrow \exists F(x,y){\text{ als Stammfunktion}}$

1. $F=\int f\;dx=\int (-2xe^{-x^{2}}+2\cos y)dx=e^{-x^{2}}+2\cos y+c(y)$
2. $F_{y}{\overrightarrow {=}}g:\quad 0-2x\sin y+c'(y)=-2x\sin y+2\cos y$

$c(y)=\int 2\cos y\;dy=2\sin y+d$

$\Longrightarrow F=e^{-x^{2}}+2x\cos y+2\sin y+d,\quad d\in \mathbb {R}$

Lösung Bsp. 2

• Homogen: $a_{n+1}=2a_{n}\Longrightarrow a_{n}^{(h)}=2^{n}\cdot C$
• Inhomogen: Störfunktion=3 $\Longrightarrow a_{n}^{(p)}=A$

$A-2A+3=0\Rightarrow A=3$

$\Longrightarrow n=a_{n}^{(h)}+a_{n}^{(p)}=C\cdot 2^{n}+3,\quad n\geq 0$

Koneç

So einfach?) hätt's gewesen sein können, wenn's nicht so heiß gewesen wäre :-).

Testergebnisse sollten (~1 Woche) auf www.algebra.tuwien.ac.at auftauchen.

GL!