TU Wien:Mathematik 2 VO (Gittenberger)/Prüfung 2007-07-02

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M2-VO-Prüfung Gittenberger, 2.7.2007:

  1. (8 Pkt.) Lösen Sie
  2. (8 Pkt.) Ermitteln Sie mithilfe von Lagrange-Multiplikatoren die stationären Punkte von , Nebenbedingung:
  3. (8 Pkt.) ,
  4. (8 Pkt.) Erklären Sie: Kurve in , Vektorfeld im , Kurvenintegral entlang dieser Kurve, weg-unabhängigkeit, was ist eine hinreichende Bedingung für Wegunabhängigkeit?
  5. (8 Pkt.) Erklären Sie: lineare Differentialgleichung 1. Ordnung, was ist die Lösungsgesamtheit einer inhomogenen DiffGl 1.O, erklären Sie das Verfahren zur Berechnung derselben und geben Sie ein Beispiel!

(Diese Prüfung wird momentan als Musterprüfung geführt).


Lösungsansätze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Partialbruchzerlegung:


Koeffizientenvergleich:

Integrieren:

Beispiel 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


Beispiel 2: f(x,y)=x²+2y²


OK, erster Schritt, die NB umformen auf

danach bringt man die Funktion auf die Form



Danach bilden und Null setzen:



Nun das Gleichungssystem nach auflösen.

Da erhält man dann den Punkt P(2,1)

Mögliche Vorgehensweise:

umformen

einsetzen:


Beispiel 3[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]



Gleichung umformen auf :

Ansatz für die homogene Lösung :

deshalb ist die homogene Lösung

Nun zur partikulären Lösung :

dadurch ergibt sich der Ansatz

Diesen setzt man nun in die Gleichung ein.

nun durch dividieren.


Nun haben wir die partikuläre Lösung mit


und die Gesamtlösung :

Da wir auch 2 spezielle Lösungen vorgegeben haben, müssen wir uns mit diesen noch ausrechnen.

aus erhalten wir

aus erhalten wir


als spezielle Lösung erhalten wir dann


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