TU Wien:Mathematik 2 VO (Gittenberger)/Prüfung 2007-07-02

M2-VO-Prüfung Gittenberger, 2.7.2007:

1. (8 Pkt.) Lösen Sie $\int \frac{6-2x}{(x-1)(x-2)}dx$
2. (8 Pkt.) Ermitteln Sie mithilfe von Lagrange-Multiplikatoren die stationären Punkte von $f(x,y)=x^2+2y^2$, Nebenbedingung:$x+y=3$
3. (8 Pkt.) $a_n=8a_{n-1}+16a_{n-2}=2^{n-1}$, $a_0=2,a_1=3$
4. (8 Pkt.) Erklären Sie: Kurve in ${ℝ}^3$, Vektorfeld im ${ℝ}^3$, Kurvenintegral entlang dieser Kurve, weg-unabhängigkeit, was ist eine hinreichende Bedingung für Wegunabhängigkeit?
5. (8 Pkt.) Erklären Sie: lineare Differentialgleichung 1. Ordnung, was ist die Lösungsgesamtheit einer inhomogenen DiffGl 1.O, erklären Sie das Verfahren zur Berechnung derselben und geben Sie ein Beispiel!

(Diese Prüfung wird momentan als Musterprüfung geführt).

Lösungsansätze

Beispiel 1

$\int \frac{6-2x}{(x-1)(x-2)}dx$

Partialbruchzerlegung:

$\frac{6-2x}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}$

$6-2x=Ax-2A+Bx-B$

Koeffizientenvergleich:

$-2=A+B\Rightarrow B=-2-A$

$6=-2A-B=-A+2$

$A=-4$

$B=2$

Integrieren:

$-4\int \frac{1}{x-1}dx+2\int \frac{1}{x-2}dx=-4\ln |x-1|+2\ln |x-2|+C$

Beispiel 2

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Beispiel 2: f(x,y)=x²+2y²

$f(x,y)=x^2+2y^2$

$NB:x+y=3$

OK, erster Schritt, die NB umformen auf $x+y-3=0$

danach bringt man die Funktion auf die Form

$\Phi (x,y)=x^2+2y^2+\lambda \ast (x+y-3)$

Danach ${\Phi }_x,{\Phi }_y,{\Phi }_{\lambda }$ bilden und Null setzen:

${\Phi }_x=2x+\lambda =0$

${\Phi }_y=4y+\lambda =0$

${\Phi }_{\lambda }=x+y-3=0$

Nun das Gleichungssystem nach $x,y,\lambda$ auflösen.

Da erhält man dann den Punkt P(2,1)

Mögliche Vorgehensweise:

${\Phi }_x-{\Phi }_y=2x-4y=0$

${\Phi }_{\lambda }$ umformen $\to y=3-x$

einsetzen:

$2x-4(3-x)=0\to x=2$

$y=3-2=1$

Beispiel 3

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$a_n=8a_{n-1}-16a_{n-2}+2^{(n-1)}$

$a_0=2$

$a_1=3$

Gleichung umformen auf :

$a_n-8a_{n-1}+16a_{n-2}=2^{(n-1)}$

Ansatz für die homogene Lösung :

${\lambda }^2-8\lambda +16=0$

${\lambda }_{1,2}=4\pm \sqrt{4^2-16}=4$

deshalb ist die homogene Lösung

$a_n^{(h)}=(C_1+C_{2}n){\lambda }_1^n=(C_1+C_{2}n)4^n$

Nun zur partikulären Lösung :

$S(n)=2^{n-1}=\frac{1}{2}{2}^n$

dadurch ergibt sich der Ansatz

$a_n^{(p)}=A\ast 2^n$

Diesen setzt man nun in die Gleichung ein.

$A\ast 2^n-8A\ast 2^{n-1}+16A\ast 2^{n-2}=2^{n-1}$

nun durch $2^{n-1}$ dividieren.

$2A-8A+8A=1$

$A=\frac{1}{2}$

Nun haben wir die partikuläre Lösung mit

$a_n^{(p)}=\frac{1}{2}\ast 2^n$

und die Gesamtlösung :

$a_n=(C_1+C_{2}n)4^n+\frac{1}{2}\ast 2^n$

Da wir auch 2 spezielle Lösungen vorgegeben haben, müssen wir uns mit diesen noch $C_1,C_2$ ausrechnen.

$(I)a_0:2=(C_1+C_2\ast 0)4^0+\frac{1}{2}\ast 2^0=C_1+\frac{1}{2}$

$(II)a_1:3=(C_1+C_2\ast 1)4^1+\frac{1}{2}\ast 2^1=4\ast C_1+4\ast C_2+1\frac{1}{2}$

aus $(I)$ erhalten wir $C_1=\frac{3}{2}$

aus $(II)+(I)$ erhalten wir $C_2=-1$

als spezielle Lösung erhalten wir dann

$a_n=(\frac{3}{2}-n)4^n+\frac{1}{2}\ast 2^n$

Links

• Nachbesprechung im Informatik-Forum
• Literatur: Scriptum, Buch zur LVA
• Musterlösung zur Musterprüfung

Wikipädia:

• Bsp.1: Partialbruchzerlegung
• Bsp.2: Lagrange-Multiplikator
• Bsp.3: Differenzengleichung
• Bsp.4: Kurvenintegral
• Bsp.5: Differentialgleichung