TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 417

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichungen

$y''+7y'+6y=\cosh(x)$

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Hilfreiches

Cosh

Cosh

$\cosh(x)={\frac {1}{2}}(e^{x}+e^{-x})$

Lösungsvorschlag von G underscore

--G underscore 19:02, 29. Jun. 2019 (CEST)

✅ Bestätigt von Clemens Müllner (SS19)

Lösung der homogenen Gleichung

$\lambda ^{2}+7\lambda +6=0\,$

$\lambda _{1,2}=-{\frac {7}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {49}{4}}-6}}=-{\frac {7}{2}}\pm {\frac {5}{2}}\,$

$\lambda _{1}=-1,\quad \lambda _{2}=-6$

$y_{h}(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-6x}\,$

Lösung der inhomogenen Gleichung

Da $\cosh(x)={\frac {1}{2}}(e^{x}+e^{-x})$ gilt, können wir mit der Versuchslösung für die Exponentialfunktion arbeiten.

$y_{p}(x)=Ae^{x}+Be^{-x}x\,$ Resonanzfall beachten!

$y_{p}(x)'=Ae^{x}+B(-e^{-x}x+e^{-x})$

$y_{p}(x)''=Ae^{x}+B(e^{-x}x-2e^{-x})$

Einsetzen in die Differenzengleichung:

$Ae^{x}+Be^{-x}x+7(Ae^{x}+B(-e^{-x}x+e^{-x}))+6(Ae^{x}+B(e^{-x}x-2e^{-x}))={\frac {1}{2}}(e^{x}+e^{-x})$

$14Ae^{x}+5Be^{-x}={\frac {1}{2}}(e^{x}+e^{-x})$

$28Ae^{x}+10Be^{-x}=e^{x}+e^{-x}$

Aus einem Koeffizientenvergleich folgt:

$A={\frac {1}{28}},\quad B={\frac {1}{10}}$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-6x}+{\frac {e^{x}}{28}}+{\frac {xe^{-x}}{10}}\,$