TU Wien:Mathematik 3 VO (Gittenberger)/PO-Theoriefragen

Numerische Mathematik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

2008 - Was versteht man unter einer Quadraturformel? 
Nennen Sie zwei Quadraturverfahren und beschreiben Sie diese. 
Wie lässt sich der Fehler solcher Formeln quantifizieren,
wenn man das qualitative Verhalten des Fehlers kennt 
(gefragt sind keine Formeln, nur die praktische Vorgangsweise)?

Approximation/Interpolation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

2008 - Was versteht man unter Polynom- bzw. Splineinterpolation 
(Verfahren, Eigenschaften,Unterschiede)?

Bei der Spline-Interpolation versucht man, gegebene Stützstellen, auch Knoten genannt, mit Hilfe von stückweise stetigen Polynomen, genauer Splines, zu interpolieren. Während das Ergebnis einer Polynominterpolation durch unvorteilhaft festgelegte Stützstellen oft bis zur Unkenntlichkeit oszilliert, liefert die Splineinterpolation mit nur geringem Rechenaufwand auch dann noch brauchbare Kurvenverläufe und Approximationseigenschaften

Auf jedem Teilintervall wählt man nun das Polynom $s_{j}(x)$ in Newtondarstellung um die Spline-Interpolation anzusetzen.

s_{j}(x)=a_{j}+b_{j}\cdot (x-x_{j})+c_{j}\cdot (x-x_{j})^{2}+d_{j}\cdot (x-x_{j})^{3}

für

x_{j-1}\leq x\leq x_{j}

und

j=1,\ldots ,n

2010 - Erklären Sie den Unterschied zwischen Approximation und Interpolation. 
Erklären Sie weiters die Verfahren Lagrange-Interpolation und Spline-Interpolation.

2010 - Was versteht man unter dem Verfahrensfehler eines numerischen Verfahrens? 
Welchen anderen Fehler gibt es? 
Was läßt sich allgemein über die Größen dieser beiden Fehler aussagen? 
Wie groß ist der lokale (Verfahrens-)Fehler beim Eulerschen Polygonzugverfahren
und warum liegt er in dieser Größenordnung?

Numerische Integration[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

2010 - Was versteht man unter einer Quadraturformel? 
Nennen Sie zwei Quadraturverfahren und beschreiben Sie diese. 
Wie lässt sich der Fehler solcher Formeln quantifizieren, wenn man das qualitative Verhalten des Fehlers kennt
(gefragt sind keine Formeln, nur die praktische Vorgangsweise)?

Quadraturformel $Q(a,b)$ versteht man dads Integral

\int _{a}^{b}p(x)\,dx

Zwei Quadraturverfahren: Numerische Integration und Approximation (Quadraturformel)

Die Fehler lassen sich durch Subtrahieren der Quadraturformel von der Ursprungsfunktion (Qualitativem Verhalten) quantifizieren.
Hergeleitet von: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}p(x)\,dx+\int _{a}^{b}r(x)\,dx=Q(a,b)+R(a,b)$
Wobei $Q(a,b)$ die Quadraturformel und $R(a,b)$ das Restglied ist.

2008 - Wozu dient die Regel von Simpson? 
Beschreiben Sie die Funktionsweise der Regel von Simpson, d.h. welche Idee liegt der Formel zugrunde 
(gefragt ist nicht die Formel selbst). 
Für welche Funktionenklasse erhält man damit exakte Resultate?

Dient zur numerischen Integration
Idee:
Wiederholte Anwendung von kepplerscher Fassregel Zerlegung in 2n - Teilintervalle
Exakte Lösungen erhält man für Funktionen (Polynome) höchstens dritten Grades

Simulation von Diffgl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

2010 - Beschreiben Sie das Eulersche Polygonzugverfahren: Wozu dient es? 
Wie funktioniert es (Formeln zur Durchführung, Grundidee, geometrische Interpretation)? 
In welcher Größenordnung liegt der Verfahrensfehler?

2008 - Wozu dienen das Euler- und das Runge-Kutta-Verfahren? 
Beschreiben Sie diese beiden Verfahren? 
Wie groß sind die lokalen Fehler dieser beiden Verfahren und wie lässt sich 
daher die Genauigkeit verbessern? 
Lässt sich die Genauigkeit beliebig verbessern? (Begründung!)

2008 - Beschreiben Sie das Eulersche Polygonzugverfahren 
(Problemstellung, geometrische Grundidee, konkrete Formel). 
Was versteht man unter dem Verfahrensfehler?
Welche weiteren Fehler gibt es?

2006 - Wozu dienen Euler-Cauchy-Verfahren und Runge-Kutta-Verfahren? 
Beschreiben Sie diese beiden Verfahren? 
Wie groß sind die lokalen Fehler dieser beiden Verfahren
und wie lässt sich daher die Genauigkeit verbessern? 
Welche Arten von globalen Fehlern treten auf?

F-Analyse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fourier-Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Trigonometrisches Polynom (reell, komplex)
Orhogonalitätsrelation (4)
Trigonometrische Reihe (+Partialsumme)
gleichmäßige Konvergenz
Weierstrasscher M-Test
Fourier Reihe
Rechenregeln
Differentation
Integration
Bessel Ungleichung

\Vert f\Vert ^{2}\geq \sum _{n=1}^{N}\vert \langle f_{n},f\rangle \vert ^{2}

,

wobei $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ das Skalarprodukt auf dem Hilbertraum darstellt.
wikipedia

Parsevlasche Gleichung
Konvergenz im quadratischen Mittel
Eindeutigkeits Satz
Darstellungssatz bei gleichmßßiger Konvergenz
Darstellungssatz bei stückweise Stetiger diffbarer Fnkt.

Diskrete-FT[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Spektralkoeffizienten
Fourier Matrix
Formeln DFT, iDFT
Rechenregeln (Linearität, Verschiebung Zeit+Frequenzber., Faltung)
Parseval Gleichung
FFT

Fourier-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Cauchy Hauptwert (CHW)
Formel FT, iFT
Konvergenzsatz
Rechenregeln
Fourier Interpoltheorem
Umkehr- und Eindeutigkeitssatz

2010 - Beschreiben Sie die Fouriertransformation (Definition, einige Eigenschaften, Anwendungen).

2010 - Was versteht man unter einer Funktionenfolge bzw. einer Funktionenreihe? 
Definieren Sie den Begriff "gleichmäßige Konvergenz" für Funktionenfolgen. 
Welche hinreichende Bedingung für die gleichmäßige Konvergenz von Funktionenreihen
kennen Sie (Weierstraßscher M-Test)?

2010 - Was versteht man unter einer trigonometrischen Reihe? 
Was versteht man unter der Fourierreihe  $S_{f}(x)$  einer T-periodischen Funktion  $f(x)$ ? 
Wie lautet die Besselsche Ungleichung? 
Unter welchen Voraussetzungen gilt  $S_{f}(x)=f(x)$  für alle  $x\in \Re$ ?

Fourierreihe: Als Fourierreihe (nach Jean Baptiste Joseph Fourier) einer periodischen Funktion f(x), die abschnittsweise stetig ist, bezeichnet man deren Entwicklung in eine Funktionenreihe aus Sinus- und Kosinusfunktionen. (Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe)
Besselsche Ungleichung: http://de.wikipedia.org/wiki/Besselsche_Ungleichung

Inter welcher Voraussetzung gilt $S_{f}(x)=f(x)$ : Gilt meiner Meinung nach nur wenn es sich bei f(x) um ein trigonometrisches Polynom handelt.

2008 - Wie ist die Fourierreihe einer Funktion  $f:\Re \rightarrow \Re$  definiert? 
Was versteht man unter Konvergenz im quadratischen Mittel? 
Geben Sie ein Beispiel einer Funktion  $f$  an, deren Fourierreihe  $S_{f}$  nicht gegen  $f$  konvergiert! 
Wie lautet in diesem Beispiel die Grenzfunktion  $S_{f}$ ?

Fourierreihe (Allgemein und Komplex):

\displaystyle f_{n}(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}\cdot \cos(k\omega t)+b_{k}\cdot \sin(k\omega t))=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}

.

Die Koeffizienten der Entwicklung von f sind

\displaystyle a_{k}={\frac {2}{T}}\int _{c}^{c+T}f(t)\cdot \cos(k\omega t)\,\mathrm {d} t

und

\displaystyle b_{k}={\frac {2}{T}}\int _{c}^{c+T}f(t)\cdot \sin(k\omega t)\,\mathrm {d} t

und

\displaystyle c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{c}^{c+T}f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\omega t}dt

Konvergenz im Quadratischen Mittel
Fourierreihe einer auf $[0,T]$ stückweise stetigen Funktion konvergiert im quadratischen Mittel gegen $f(t)$

\lim _{n\to \infty }||f(t)-S_{n}(t)||_{2}=0(\approx \int _{a}^{b}|f-f_{n}|^{2}\mathrm {d} t)

$S_{n}(t)=n-t*e$ Partialsume von $S_{t}(t)$
Beispiel einer nicht konvergierenden (Divergierenden?) Funktion:

2008 - Wie funktioniert die Fast Fourier Transform? Welche Anwendungen der FFT gibt

es?

2006 - Was versteht man unter der Fourierreihe einer Funktion  $f:\Re \in \Re$ ? 
Unter welchen Voraussetzungen konvergiert die Fourierreihe von  $f$  gegen  $f$ ? 
Was versteht man unter Konvergenz im quadratischen Mittel. 
Geben Sie ein Beispiel einer Funktion  $f$ , deren Fourierreihe  $S_{f}$  nicht gegen  $f$  konvergiert. 
Nennen Sie auch die Grenzfunktion von  $S_{f}$  ?

Diff-Gl.[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

2010 - Was versteht man unter der eindimensionalen Schwingungsgleichung? 
Beschreiben Sie die durch so eine Gleichung beschriebene physikalische Problemstellung, 
die Differentialgleichung und die Anfangs- und Randbedingungen (mit Begründung)!

inhomogen ${\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}-c^{2}*{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}=f(x,y)$

homogen ${\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}=c^{2}*{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}$

c...Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle

$f(x,t)$ ... Einfluss äußerer Kräfte

Beschreibt die Ausbreitung von Schwingungen in homogenen elastischen Medien

Lösungsansatz: $u=u^{h}+u^{p}$ nach D'Alembert

Anfangsbedingung:\br Für $u(x,t)$ zum Zeitpunkt $t_{0}$ sind Anfangsprofil und Anfangsgeschwindigkeit für alle $x\in \Re$ gegeben

$u(x,t_{0})=f(x);u_{t}(x,t_{0})=g(x)$

Rand-Anfangswertproblem:

AWP für Intervall $x\in [a,b]$ zu Anfangswerten noch ?????

2010 - Gegeben sei die Differentialgleichung  $y'(x)=f(y(x))$ . 
Was versteht man unter einem Gleichgewichtspunkt dieser Differentialgleichung?
Wann heißt so ein Gleichgewichtspunkt stabil, asymptotisch stabil bzw. instabil? 
Geben Sie eine hinreichende Bedingung für asymptotische Stabilität an.

2008 - Was versteht man unter der eindimensionalen Schwingungsgleichung? Beschreiben
Sie die durch so eine Gleichung beschriebene physikalische Problemstellung, die
Differentialgleichung und die Anfangs- und Randbedingungen (mit Begründung)!

Siehe 2010

2008 - Was versteht man unter einer linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung
mit konstanten Koeffizienten? Beschreiben Sie ein Lösungsverfahren einer
solchen Gleichung für Funktionen in zwei Variablen! 
Wie lautet die eindimensionale Wellengleichung? 
Sei  $u(x,t)$  Lösung einer Wellengleichung. 
Wie lassen sich dann u, x und t physikalisch interpretieren?

2008 - Was versteht man unter einer autonomen Differentialgleichung? 
Wie ist ein Gleichgewichtspunkt einer solchen Differentialgleichung definiert? 
Welche Arten von Gleichgewichtspunkten kennen Sie und was sagen diese 
über das qualitative Verhalten der Lösung aus?

2006 - Beschreiben Sie Lösungsverfahren und allgemeine Lösung einer linearen partiellen Differentialgleichung 
erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten  $a*u_{x}+b*u_{y}$ . 
Wie lautet die Schwingungsgleichung? 
Sei  $u(x,t)$  Lösung einer Schwingungsgleichung.
Wie lassen sich u, x und t physikalisch interpretieren?

L-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wann Laplace Transformierbar
Existenz- und Eindeutigkeitssatz
Rechenregeln
Laplace Transformation von $f(t)={1,e^{\alpha ,t},cos(\omega *t),sin(\omega t)}$
Laplace Transormierte-Formel

2010 - Was versteht man unter der Laplace-Transformierten einer Funktion  $f(x)$ ? 
unter welchen Voraussetzungen existiert die Laplace-Transformierte? 
Wie lauten die Laplace-Transformierten von  $t\mapsto e^{t},t\mapsto t,t\mapsto 1$  und  $t\mapsto \int _{0}^{t}u*e^{t-u}\,dt$

2008 - Was versteht man unter einer partiellen Differentialgleichung m-ter Ordnung? Was 
versteht man unter einem ersten Integral? 
Erklären Sie den Zusammenhang zwischen ersten Integralen und linearen partiellen 
Differentialgleichungen erster Ordnung.

2006 - Was versteht man unter einer partiellen Differentialgleichung m-ter Ordnung? 
Was versteht man unter einem ersten Integral? 
Erklären Sie den Zusammenhang zwischen ersten Integralen und linearen partiellen 
Differentialgleichungen erster Ordnung.

Allgemein:

F\left(x,y,u(x,y),{\frac {\partial u(x,y)}{\partial x}},{\frac {\partial u(x,y)}{\partial y}},\ldots ,{\frac {\partial ^{2}u(x,y)}{\partial x\partial y}},\ldots \right)=0,

Ordnung ist die höchste auftretende Ableitungsordnung $m=m_{1}+m_{2}+...+m_{n}$ Erstes Integral:

2008 - Was versteht man unter der Laplace-Transformierten einer Funktion  $f(x)$ ? 
Unter welchen Voraussetzungen an f(x) existiert die Laplace-Transformierte? 
Wie ist die Fourier-Transformierte definiert? 
Nennen Sie Anwendungen von Laplace- und Fourier-Transformation?

2006 - Gegeben sei das Anfangswertproblem
 $y'=f(x,y),y(a)=b$ 
Unter welchen Voraussetzungen gibt es eine Löosung? 
Wann ist diese Lösung eindeutig?
Nennen Sie je ein Beispiel einer Funktion  $f$ , 
die die Voraussetzungen für die Eindeutigkeit erfüllt bzw. nicht erfüllt.
(Alle verwendeten Begriffe müssen genau erklärt werden!)

2006 - Was versteht man unter der Laplace-Transformierten einer Funktion  $f(x)$ ? 
Unter welchen Voraussetzungen existiert die Laplace-Transformierte? 
Wie ist die Fourier-Transformierte deffiniert? 
Unter welchen Voraussetzungen existiert die Fourier-Transformierte? 
Nennen Sie Anwendungen von Laplace- und Fourier-Transformation?