TU Wien:Mathematik 3 VO (Gittenberger)/PO Formeln kompakt

Numerische Interation

$h^{ST}=(b-a)/n$ ... Schrittweite
$R^{ST}=-(b-a)/12\ast h^2\ast f^{″}(\xi )$
$h^{SI}=(b-a)/(2n)$
$R^{SI}=-(b-a)/180\ast h^4\ast f^{⁗}(\xi )$
Rest: Siehe Standard Uni Formelsammlung S.26

Sim.von.Differenzengl.

Euler'sches Verfahren - Fehler: O(h)
$x_{i+1}=x_i+h$; $y_{i+1}=y_i+hf(x_i,y_i)$
Verbesserter Euler - Fehler: Fehler: $O(h^2)$
$x_{i+1}=x_i+h$
$y_{i+1}=y_i+h/2\ast [f(x_i,y_i)+f(x_i+h,y_i+hf(x_i,y_i))]$
Klassisches Runge-Kutta - Fehler: $O(h^4)$
$y_{i+1}=y_i+h/6\ast (k_1+2(k_2+k_3)+k_4)$
$k_1=f(x_i,y_i)$
$k_2=f(x_i+h/2,y_i+h/2\ast k_1)$
$k_3=f(x_i+h/2,y_i+h/2\ast k_2)$
$k_4=f(x_i+h,y_i+h\ast k_3)$

Approx/Interpol

Kleinste Quadrate:
$Q=\sum _{i=1}^n(f(x_i,\overrightarrow{x})-p(x_i){)}^2=\sum (y_i-a-b\ast x_i{)}^2$
$b=\frac{\sum (x_i{y}_i)-n\ast \overline{x}\overline{y}}{\sum (x_i^2)-n\ast (\overline{x}{)}^2}$
Polynomfunktion:
$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\mathrm{...}$
Lagrage:
${\ell }_i(x)=\prod _{j=0,j\ne i}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$
$p(x)=y_0\ast {\ell }_0+y_1\ast {\ell }_1+\mathrm{...}$
Newton:
$p(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)+$
$\mathrm{...}+a_n(x-x_0)\ast \mathrm{...}\ast (x-x_{n-1})$

F-Analyse

$f_n(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^n(a_k\cdot \cos (k\omega t)+b_k\cdot \sin (k\omega t))$
$=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\omega t}$
$a_k=\frac{2}{T}{\int }_c^{c+T}f(t)\cdot \cos (k\omega t)\mathrm{d}t$
$b_k=\frac{2}{T}{\int }_c^{c+T}f(t)\cdot \sin (k\omega t)\mathrm{d}t$
$c_n=\frac{1}{T}{\int }_c^{c+T}f(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}n\omega t}dt$

F-Trans

$\omega =e^{(2\Pi \ast \iota )/N}$
DFT: $c_k=1/N\ast \sum _{j=0}^{N-1}{y}_j\ast e^{-jk\ast 2\pi \iota /N}$

L-Trans

Heißt transformierbar wenn folgendes konvergiert
$F(s)=ℒ\{f(t)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-st}f(t)dt$
$ℒ\{y^{″}\}=s^{2}Y(s)-sy(0)-f^{\prime }(0)$
$ℒ\{y^{\prime }\}=sY(s)-y(0)$

PDG

$a{u}_x+b{u}_y=f(x,y)$
$\xi =bx+ay;\eta =bx-ay$
$U(\xi ,\eta )=1/(2ab)\ast \int F(\xi ,\eta )\mathrm{d}\xi +G(\eta )$

$u_{tt}-c^2{u}_{xx}=f(x,t)$
$\xi =x-c\ast t;\tau =x+c\ast t$
$u^p(x,t)=U(\xi ,\tau )=-1/(4c^2)\ast \int \int F(\xi ,\tau )\mathrm{d}\xi \mathrm{d}\tau$
$u^h(\xi ,\tau )=g(\xi )+h(\tau )$

Sonstiges

$(f\ast g)(\xi ):={\int }_{{ℝ}^n}f(y)g(\xi -y)\mathrm{d}y$