TU Wien:Mathematik 3 VO (Gittenberger)/PO Formeln kompakt

Numerische Interation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$h^{ST}=(b-a)/n$ ... Schrittweite
$R^{ST}=-(b-a)/12*h^{2}*f''(\xi )$
$h^{SI}=(b-a)/(2n)$
$R^{SI}=-(b-a)/180*h^{4}*f''''(\xi )$
Rest: Siehe Standard Uni Formelsammlung S.26

Sim.von.Differenzengl.[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Euler'sches Verfahren - Fehler: O(h)
$x_{i+1}=x_{i}+h$ ; $y_{i+1}=y_{i}+hf(x_{i},y_{i})$
Verbesserter Euler - Fehler: Fehler: $O(h^{2})$
$x_{i+1}=x_{i}+h$
$y_{i+1}=y_{i}+h/2*[f(x_{i},y_{i})+f(x_{i}+h,y_{i}+hf(x_{i},y_{i}))]$
Klassisches Runge-Kutta - Fehler: $O(h^{4})$
$y_{i+1}=y_{i}+h/6*(k_{1}+2(k_{2}+k_{3})+k_{4})$
$k_{1}=f(x_{i},y_{i})$
$k_{2}=f(x_{i}+h/2,y_{i}+h/2*k_{1})$
$k_{3}=f(x_{i}+h/2,y_{i}+h/2*k_{2})$
$k_{4}=f(x_{i}+h,y_{i}+h*k_{3})$

Approx/Interpol[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kleinste Quadrate:
$Q=\sum _{i=1}^{n}(f(x_{i},{\vec {x}})-p(x_{i}))^{2}=\sum (y_{i}-a-b*x_{i})^{2}$
$b={\frac {\sum (x_{i}y_{i})-n*{\bar {x}}{\bar {y}}}{\sum (x_{i}^{2})-n*({\bar {x}})^{2}}}$
Polynomfunktion:
$p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...$
Lagrage:
$\ell _{i}(x)=\prod _{j=0,j\neq i}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}$
$p(x)=y_{0}*\ell _{0}+y_{1}*\ell _{1}+...$
Newton:
$p(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+$
$...+a_{n}(x-x_{0})*...*(x-x_{n-1})$

F-Analyse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$f_{n}(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}\cdot \cos(k\omega t)+b_{k}\cdot \sin(k\omega t))$
$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}$
$a_{k}={\frac {2}{T}}\int _{c}^{c+T}f(t)\cdot \cos(k\omega t)\,\mathrm {d} t$
$b_{k}={\frac {2}{T}}\int _{c}^{c+T}f(t)\cdot \sin(k\omega t)\,\mathrm {d} t$
$\displaystyle c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{c}^{c+T}f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\omega t}dt$

F-Trans[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$\omega =e^{(2\Pi *\iota )/N}$
DFT: $c_{k}=1/N*\sum _{j=0}^{N-1}y_{j}*e^{-jk*2\pi \iota /N}$

L-Trans[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Heißt transformierbar wenn folgendes konvergiert
$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt$
${\mathcal {L}}\{y''\}=s^{2}Y(s)-sy(0)-f'(0)$
${\mathcal {L}}\{y'\}=sY(s)-y(0)$

PDG[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$au_{x}+bu_{y}=f(x,y)$
$\xi =bx+ay;\eta =bx-ay$
$U(\xi ,\eta )=1/(2ab)*\int F(\xi ,\eta )\mathrm {d} \xi +G(\eta )$

$u_{tt}-c^{2}u_{xx}=f(x,t)$
$\xi =x-c*t;\tau =x+c*t$
$u^{p}(x,t)=U(\xi ,\tau )=-1/(4c^{2})*\int \int F(\xi ,\tau )\mathrm {d} \xi \mathrm {d} \tau$
$u^{h}(\xi ,\tau )=g(\xi )+h(\tau )$