TU Wien:Mathematische Methoden des Visual Computing VU (Panholzer)/Übungen SS14/Beispiel 125

Ein Turm habe die Form eines oben mittels einer Ebene abgeschnittenen Zylinders. Das Dach hat somit die Form einer Ellipse. Der Grundriß des Turms sei ein Kreis mit 12m Durchmesser, seine Höhe betrage 35m. Der tiefste Punkt des Dachs liegt in 30m Höhe. Wie groß ist die Fläche der Außenmauer dieses Turms.

Anleitung: Übersetzen Sie die Aufgabenstellung in ein geeignetes Kurvenintegral einer skalarwertigen Funktion und berechenen Sie dieses Integral.

Lösung

Wir betrachten zunächst das Kurvenintegral für skalare Funktionen: $\int \limits _{K}f\;ds=\int _{a}^{b}f(k(t))\cdot ||k'(t)||\;dt$

Wir brauchen also die Bogenlänge und eine Funktion.

Graphisch kann man sich das Beispiel folgendermaßen veranschaulichen: (siehe Anhang) bzw. gibt es eine 3D Graphik in der Wikipedia.

D.h. man hat einen Zylinder, der mit einer Ebene geschnitten wird und man will die Mantelfläche (Außenmauer) des Zylinderabschnittes mit dem Kurvenintegral berechnen. Dazu brauchen wir die Bogenlänge, also wie lang die Kurve ist und eine Ebenengleichung mit der die Mantefläche berechnet werden kann.

Aufgrunddessen, dass es sich bei der Bogenlänge um einen Kreis handelt, können wir folgende Berechnungen durchführen:

Definition des Kreises:

$x=r*cos(\varphi )$ $y=r*sin(\varphi )$

Das kann man parametrisieren und man erhält: (Ableitung bilden)

$x'(t)=-r*sin(t)$ $y'(t)=r*cos(t)$

Die Bogenlänge ist so definiert:

$||k'(t)||={\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}$

Durch's Einsetzen erhalten wir:

$||k'(t)||={\sqrt {r^{2}*cos(t)^{2}+r^{2}*sin(t)^{2}}}=r$ (Herausheben, etc.)

Somit haben wir die Bogenlänge, jetzt brauchen wir noch eine Ebenengleichung: (k --> Steigung aus der Differenz und d --> Distanz vom Ursprung)

$f(x,y)=kx+d={\frac {35-30}{12}}*x+{\frac {35+30}{2}}={\frac {5}{12}}*x+32.5$

Jetzt können wir die Ebenengleichung und die Bogenlänge in das Integral einsetzen und ausrechnen: (Wir setzen für x r*cos(t) ein und schieben die Konstanten vor das Integral).

$\int _{0}^{2\pi }{\frac {5}{12}}*(r*cos(t))+32.5\cdot r\;dt=r*{\frac {5}{12}}\int _{0}^{2\pi }(cos(t))\;dt+r*\int _{0}^{2\pi }32.5\;dt$

$=r*{\frac {5}{12}}((sin(t))\left|^{2\pi }_{0}\right)+r*(32.5t\left|^{2\pi }_{0}\right)$

Man wird feststellen, dass der erste Termin (mit sin(t)) wegfällt, weil sin(2pi bzw. 0) = 0 ist.

Der rechte Term ist somit:

$6*(204.20352)=1225.221134(Meter)$

Kleine Anmerkung noch zum Schluss. Wenn man sich den Wikipedialinkangeschaut hat, wird man sehen, dass die Mantelfläche von einem Zylinderabschnitt auch auf elementare Weise berechnet werden kann.

$M=2*\pi *r*({\frac {h_{1}+h_{2}}{2}})$

Des Weiteren hätten wir die Steigung der Ebene nicht berechnen müssen, weil diese immer 0 ist. (Was im Prinzip parallel zum Zylinder steht und man somit einen Zylinder mit der Höhe 32.5m berechnet, das kleine Stüchen was man von 32.5 bis 35 somit weglässt ist in Ordnung, weil wiederum das Stückchen von 30 bis 32.5 dazu kommt. ) Dennoch wollte man mit diesem Beispiel zeigen, dass man die Mantelfläche auch mit dem Kurvenintegral berechnen kann.

Materialien

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B

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