TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Bura)/Übungen 2019W/2.2

Fair six sided die

A fair six sided die is rolled repeatedly until the sum of all obtained numbers is greater than 6. Let X be the number of times the die was rolled and let F be the cumulative distribution function for X. Compute F (1), F (2), F (6) and F (7).

Lösungsvorschlag von Gittenburg

--Gittenburg 18:21, 21. Okt. 2019 (CEST)

$F(1)=0$ ... mit einem Wurf kann man nicht über sechs kommen

${\begin{aligned}F(2)&=P(6)P(6,5,4,3,2,1)+P(5)P(6,5,4,3,2)+P(4)P(6,5,4,3)+P(3)P(6,5,4)+P(2)P(6,5)+P(1)P(6)\\&={\frac {1}{6}}{\frac {6}{6}}+{\frac {1}{6}}{\frac {5}{6}}+{\frac {1}{6}}{\frac {4}{6}}+{\frac {1}{6}}{\frac {3}{6}}+{\frac {1}{6}}{\frac {2}{6}}+{\frac {1}{6}}{\frac {1}{6}}={\frac {7}{12}}\approx 0.583\end{aligned}}$

$F(6)=1-P(1)^{6}=1-({\frac {1}{6}})^{6}\approx 0.99998$ (edit: stimmt nicht wurde aber in den Übungen akzeptiert)

$F(7)=1$ ... mit sieben Würfen kommt man garantiert über sechs