TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Bura)/Übungen 2019W/5.6

Postbox 2

For the setup in Postbox 1, which p minimizes

$\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-p)^{2}$

Lösungsvorschlag von AmazingSchnitzel

$f(p)=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-p)^{2}$

Wir suchen also ein p für das die Funktion $f(p)$ ein Minimum wird. Das bedeutet wir müssen das $p$ finden, für das die 1. Ableitung der Funktion gleich null ist.

$f'(p)=\sum _{i=1}^{n}2(x_{i}-p)*(0-1)$
$f'(p)=\sum _{i=1}^{n}-2(x_{i}-p)$
$f'(p)=-2\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-p)$

Nachdem wir die Funktion abgeleitet haben, müssen wir sie jetzt null setzen und so lange umformen bis wir ein Ergebnis haben.

$0=-2\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-p)$
$0=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-p)$
$0=\sum _{i=1}^{n}(x_{i})-n*p$
$0={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i})-p$

$p={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i})$

Die Formel, auf die wir kommen, ist dieselbe wie für das arthitmetische Mittel. Somit haben wir gezeigt, dass die Funktion f(p) genau dort ein Minimum hat wo p das arithmetische Mittel der Zahlen x1, x2, ... xn ist.