TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS11/Beispiel 2.22

[k-aus-n-Systeme] Ein aus n Komponenten bestehendes System ist ein k-aus-n-System $(1\leq k\leq n)$, wenn das System genau dann funktioniert, wenn zumindest $k$ der $n$ Komponenten funktionieren. Man nehme an, dass die Komponenten unabhängig voneinander funktionieren/ausfallen.

a) Wenn die Komponenten mit Wahrscheinlichkeit $p_{i}$ funktionieren, mit welcher Wahrscheinlichkeit funktioniert ein 2-aus-4-System?

b) Wiederholen Sie a) für ein 3-aus-5-System.

c) Wie lauten die Wahrscheinlichkeiten von a) und b), wenn alle Intaktwahrscheinlichkeiten $p_{i}$ identisch gleich $p$ sind?

Lösungsvorschlag

$W(X)=\sum _{i=k}^{n}{\binom {n}{i}}\underbrace {W^{i}(X)} _{\text{funktionieren}}\underbrace {(1-W(X))^{n-i}} _{\text{ausgefallen}}$

a)

${\begin{array}{lll}1&-(P\{X=0\}&+P\{X=1\})\quad \ldots {\text{keine oder eine Komponente darf ausfallen}}\\1&-\prod _{i=1}^{4}(1-p_{i})&-\sum _{i=1}^{4}p_{i}\prod _{j\neq i}(1-p_{j})\\1&-(1-p_{1})(1-p_{2})(1-p_{3})(1-p_{4})&-[\ p_{1}\ (1-p_{2})(1-p_{3})(1-p_{4})\\&&\ +(1-p_{1})\ p_{2}\ (1-p_{3})(1-p_{4})\\&&\ +(1-p_{1})(1-p_{2})\ p_{3}\ (1-p_{4})\\&&\ +(1-p_{1})(1-p_{2})(1-p_{3})\ p_{4}\ ]\end{array}}$

Anmerkung aus der UE:

$\sum _{(x_{1},...,x_{4});x_{i}=0,1;\sum x_{i}\geq 2}\prod _{i=1}^{4}p_{i}^{x_{i}}(1-p_{i})^{1-x_{i}}$

b)

$\sum _{(x_{1},...,x_{5});x_{i}=0,1;\sum x_{i}\geq 3}\prod _{i=1}^{5}p_{i}^{x_{i}}(1-p_{i})^{1-x_{i}}$

c)

$\sum _{k=2}^{4}{\binom {4}{k}}p^{k}(1-p)^{4-k}$

$\sum _{k=3}^{5}{\binom {5}{k}}p^{k}(1-p)^{5-k}$

von --Raven24 (Diskussion) 13:03, 1. Okt. 2014 (CEST)

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