TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS11/Beispiel 2.6

[Disjunkte Ereignisse]

(a) Ein Würfelpaar wird geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt der zweite Würfel eine höhere Augenzahl als der erste Würfel? (Bem.: Einer der beiden Würfel sei der erste und der andere der zweite.)

(b) Ein Würfelpaar wird geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt die Augen- summe i, i = 2, 3, . . . , 12 ?

(c) Ein Würfelpaar wird solange geworfen, bis die Augensumme 5 oder 7 kommt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt 5 zuerst? (Hinweis: $E_{n}$ sei das Ereignis, daß beim n–ten Wurf 5 kommt, aber weder 5 noch 7 bei den ersten n − 1 Würfen. Berechnen Sie $P(E_{n})$ und argumentieren Sie, daß $\sum _{n=1}^{\infty }P(E_{n})$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist.)

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

a)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lässt sich relativ einfach nur durch Überlegungen berechnen. Man betrachtet einfach die Würfelkombinationen in denen Zwei würfeln fallen können in "aufsteigender Weise". $(1,1),(1,2),(1,3),...,(5,6),(6,6)$

Bei 1,X gibt's noch 5 Möglichkeiten, dass der zweite Würfel "größer" als der Erste ist.

Bei 2,X gibt's nur noch 4 Möglichkeiten.

Bei 3,X gibt's nur noch 3 etc.

Das ganze kann bis 6,X Fortgesetzt werden und liefert endgültig $5+4+3+2+1=15$ Möglichkeiten. Insgesamt können die Würfel in 36 Verschiedenen Kombinationen fallen daher: ${\frac {15}{36}}=41,6\%$

b)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch dieses Beispiel ist durch kurze Überlegungen lösbar. Q(x) = Quantität von X. (Achtung, das hab ich mir hier ausgedacht, damit man Augenzahl und Kombinationsmöglichkeiten besser unterscheiden kann.)

Q(2) = (1,1) = 1

Q(3) = (1,2)(2,1) = 2

..

Q(7) = (3,4)(4,3)(2,5)(5,2)(6,1)(1,6) = 6

..

Q(12) = (6,6) = 1

Die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich nun einfach wieder durch $W{\frac {Q(x)}{36}}$ .

c)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

${\begin{aligned}{\text{sum}}(5)&=|(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)|=4\\W_{5}=W({\text{sum}}(5))&={\frac {4}{36}}={\frac {1}{9}}=0,11{\dot {1}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\text{sum}}(7)&=|(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)|=6\\W_{7}=W({\text{sum}}(7))&={\frac {6}{36}}={\frac {1}{6}}=0,16{\dot {6}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\text{Weder }}W_{5}{\text{noch }}W_{7}:&1-W(W_{5}\cup W_{7})\\&=1-W_{5}-W_{7}\\&=1-{\frac {2+3}{18}}={\frac {13}{18}}=0,72{\dot {2}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\text{n-ter Wurf}}\rightarrow W_{5}:&\left(1-W(W_{5}\cup W_{7})\right)^{n-1}\cdot W_{5}\\&=\left({\frac {13}{18}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{9}}\end{aligned}}\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left({\frac {13}{18}}\right)^{i}\cdot {\frac {1}{9}}=\displaystyle {\frac {1}{9}}\sum _{i=1}^{\infty }\left({\dfrac {1}{1-{\dfrac {13}{18}}}}\right)^{i}=0,4$