TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS11/Beispiel 3.20

[Logistische Verteilung] Betrachten Sie die folgende Funktion:

$F(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}},x\in \mathbb {R}$

(a) Stellen Sie die Funktion graphisch dar.

(b) Zeigen Sie, daß F die Verteilungsfunktion einer (stetigen) sG X ist.

(c) Ermitteln Sie allgemein einen Ausdruck für das p–Quantile xp und bestimmen Sie konkret die drei Quartile (25%, 50%, 75%) der Verteilung.

(d) Bestimmen Sie die zugehörige Dichte f und stellen Sie sie graphisch dar.

Lösung

a) http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28e%5Ex+%2F%281%2Be%5Ex%29%29++x%3D-10+to+10

$x=3\quad F(x)=0.95$

$x=2\quad F(x)=0.88$

$x=1\quad F(x)=0.731$

$x=0\quad F(x)=0.5$

$x=-1\quad F(x)=0.269$

$x=-2\quad F(x)=0.119$

$x=-3\quad F(x)=0.047$

b) Zeigen das die Bedingungen für Verteilungsfunktion aus den Folien stimmen

1. $0\leq F(x)\leq 1$

Der Nenner ist immer größer als der Zähler. Sollte also passen. Siehe Plot.

2. $x_{1}<x_{2}\quad \longrightarrow \quad F(x_{1})\leq F(x_{2})$

Funktion ist monoton steigend. Siehe Plot.

3. $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$

$\lim _{x\to \infty }F(x)=1$

passt.

4. Passt (?)

5+6. Weiß ich selbst nicht genau.

c)$p={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}$

$p+p*e^{x}={e^{x}}$

$p={e^{x}}*(1-p)$

${\frac {p}{1-p}}={e^{x}}$

$x=ln({\frac {p}{1-p}})$

Jetzt einfach die Quantils-Prozentwerte einsetzen um den zugeörigen x-Wert zu erhalten:

$p=0.25\quad x=-1.09861$

$p=0.5\quad x=0$

$p=0.75\quad x=1.09861$

d) Die Dichtefunktion ist die Ableitung von F(x).

Ableitung: http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivate%28%28e%5Ex+%2F%281%2Be%5Ex%29%29%29++

Plot: http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivate%28%28e%5Ex+%2F%281%2Be%5Ex%29%29%29++x%3D-10+to+10

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