TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS11/Beispiel 5.5

[ZGVS/Binomialverteilung] Ein symmetrischer Würfel wird 1000 Mal geworfen. Berechnen Sie approximativ die Wahrscheinlichkeit, daß die Augenzahl 6 zwischen 150 und 200 Mal inklusive geworfen wird. Wenn die Augenzahl 6 exakt 200 Mal geworfen wird, berechnen Sie approximativ die Wahrscheinlichkeit, daß die Augenzahl 5 weniger als 150 Mal geworfen wird. (Rechnen Sie mit Stetigkeitskorrektur.)

Theorie

Die Formeln und weitere Informationen findet man im Skriptum auf S. 245 (Kapitel 6.3.4 Normalapproximation).

Lösungsvorschlag

1)

${\textstyle P(X_{i})={\frac {1}{6}}}$

${\textstyle n=1000}$

${\begin{aligned}P(150\leqslant X_{i}\leqslant 200)&\approx \Phi \left({\frac {200+{\frac {1}{2}}-1000*{\frac {1}{6}}}{\sqrt {1000*{\frac {1}{6}}*(1-{\frac {1}{6}})}}}\right)-\Phi \left({\frac {150-{\frac {1}{2}}-1000*{\frac {1}{6}}}{\sqrt {1000*{\frac {1}{6}}*(1-{\frac {1}{6}})}}}\right)\\&=\Phi (2,87)-\Phi (-1,46)\\&=\Phi (2,87)-1+\Phi (1,46)\\&=0,99795-1+0,92785\\&={\underline {\underline {0,9258}}}\end{aligned}}$

2)

${\textstyle n=1000-200=800}$

${\textstyle P(X_{i})={\frac {1}{5}}}$

${\begin{aligned}P(X_{i}\leqslant 149)&\approx \Phi \left({\frac {149+{\frac {1}{2}}-800*{\frac {1}{5}}}{\sqrt {800*{\frac {1}{5}}*(1-{\frac {1}{5}})}}}\right)\\&=\Phi (-0,928)\\&=1-\Phi (0,928)\\&=1-0,82381\\&={\underline {\underline {0,1762}}}\end{aligned}}$

Weblinks

• https://web.archive.org/web/*/www.informatik-forum.at/showthread.php?84314-5.5