TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS17/Beispiel 2.13

Betrachten Sie die folgende Variante des Geburtstagsproblems: Angenommen, Sie wollen jemanden finden, der am selben Tag wie Sie geboren ist. Welche Mindestanzahl von Personen müssen Sie befragen, damit die Chancen dafür etwa 50:50 stehen? Wie viele, wenn die Chancen dafür größer sein sollen, etwa 90:10 ? (Zuerst raten!)

Lösungsvorschlag

Die Wahrscheinlichkeit an einem bestimmten Tag im Jahr Geburtstag zu haben, beträgt

$${\frac {1}{365}}\approx 0.24\%$$

Das Gegenteil, also nicht an einem bestimmten Tag im Jahr Geburtstag zu haben, beträgt

$$1-{\frac {1}{365}}\approx 99.73\%$$

Daraus folgt die Wahrscheinlichkeit, dass von ${\textstyle n}$ Personen eine am selben Tag Geburtstag hat:

$${\begin{aligned}P&=1-(1-{\frac {1}{365}})^{n}\\(1-{\frac {1}{365}})^{n}&=1-P\\n&={\frac {\mathrm {ln} (1-P)}{\mathrm {ln} (1-{\frac {1}{365}})}}\end{aligned}}$$

Somit erhalten wir für eine 50%-ige Wahrscheinlichkeit:

$$n\geq {\frac {\mathrm {ln} (0.5)}{\mathrm {ln} ({\frac {364}{365}})}}\geq 253{\text{ Personen}}$$

Und für eine 90%-ige Wahrscheinlichkeit:

$$n\geq {\frac {\mathrm {ln} (0.1)}{\mathrm {ln} ({\frac {364}{365}})}}\geq 840{\text{ Personen}}$$

Wikipedia Geburtstagsparadoxon