TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS17/Beispiel 2.4

Zeigen Sie, dass

(a) alle offenen Intervalle ${\textstyle (a,b)}$,

(b) alle abgeschlossenen Intervalle ${\textstyle [a,b]}$ und

(c) alle Intervalle der Form ${\textstyle (-\infty ,a]}$

Borelmengen sind.

Lösungsvorschlag

a

${\textstyle (a,b-{\frac {1}{n}}]}$ ist definitionsgemäß eine Borelmenge. Daher auch ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }(a,b-{\frac {1}{n}}]=(a,b)}$. Dem ${\textstyle b}$ wird sich von links immer mehr angenähert. ${\textstyle b}$ ist aber nie tatsächlich enthalten.

b

${\textstyle (a,b]}$ ist eine Borelmenge und jede einelementige Menge ebenso. Daher auch ${\textstyle \{a\}\cup (a,b]=[a,b]}$.

c

In ${\textstyle \mathbb {R} }$ ist das Komplement von ${\textstyle {\mathcal {G}}}$ gleich ${\textstyle {\overline {\mathcal {G}}}=\{(-\infty ,a]\cup (b,\infty )\;|\;a,b\in \mathbb {R} }$ mit ${\textstyle a\leq b\}\in {\mathcal {B}}}$. Der Durchschnitt von ${\textstyle {\overline {\mathcal {G}}}}$ mit ihrer eigenen Teilmenge ${\textstyle \{(-\infty ,a]\}}$ führt zur Lösung.

Alternativ: ${\textstyle \forall n:(a-n,b]}$ ist definitionsgemäß eine Borelmenge, also auch ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }(a-n,b]=(-\infty ,b]}$.