TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS17/Beispiel 2.5

Jemand behauptet, sechs verschiedene Weinproben den in einer zufälligen Reihenfolge aufgelegten Weinetiketten zuordnen zu können.

(a) Wie lautet ein passender Merkmalraum ${\textstyle \Omega }$?

(b) Wenn er/sie nur rät, wie lautet eine entsprechende W-Verteilung auf ${\textstyle {\mathcal {P}}(\Omega )}$?

(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden exakt/zumindest vier Weine richtig zugeordnet, wenn er/sie nur rät?

Lösungsvorschlag

a

Alle möglichen Anordnungen von 6 Weinproben 1,2,3,4,5,6 (zu einer fest vorgegebenen Etikettenreihenfolge) ${\textstyle \Omega =\{(x_{1},x_{2},\dots ,x_{6})\;|\;x_{i}=1,2,\dots ,6;x_{i}\neq x_{j}{\text{ für }}i\neq j\}}$

b

Alle Permutationen von 1,2,3,4,5,6. Laplace-Raum.

c

Genau vier Weine: Es gibt drei Fälle:

1. Genau vier Weine richtig
2. Genau fünf Weine richtig
3. Genau sechs Weine richtig

Fall 1: ${\textstyle P}$(genau vier richtige) = ${\textstyle {\frac {\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}}}}$. Mögliche Fälle sind alle Permutationen. Günstige Fälle: Wähle aus sechs Etiketten vier ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge, 6 über 4 = 15:

$${\frac {\binom {6}{4}}{6!}}=0.0208$$

Fall 2: Existiert nicht. Wenn fünf Weine richtig sind, ist automatisch auch der sechste richtig.

Fall 3: Alle sechs Weine sind richtig:

$${\frac {1}{6!}}$$

Für mindestens vier Weine:

$${\frac {\binom {6}{4}}{6!}}+{\frac {1}{6!}}=0.0222$$