TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS17/Beispiel 2.6

Zeigen Sie für die Ereignisse A1, A2, ... die Bonferroni-Ungleichung:

$P\left(\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\geq 1-\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i}^{c})$

Zeigen Sie, dass die Ungleichung für endliche viele Ereignisse $A_{1},A_{2},...A_{n}$ auch wie folgt geschrieben werden kann:

$P\left(\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq \sum _{i=1}^{n}P(A_{i})-(n-1)$

Lösungsvorschlag

Der erste Teil geht über Komplement und Bonferroni-Ungleichung.

Für endlich viele Ereignisse lässt sich die rechte Seite wie folgt schreiben

$1-\sum _{i=1}^{n}P(A_{i}^{c})=1-\sum _{i=1}^{n}[1-P(A_{i})]=\sum P(A_{i})-(n-1)$