TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS17/Beispiel 3.17

${\textstyle X}$ habe die Dichte ${\textstyle f(x)=3x^{2},\;0<x<1}$, gleich Null sonst. Betrachten Sie ein Rechteck mit den Seiten ${\textstyle X}$ und ${\textstyle 1-X}$. Bestimmen Sie den Erwartungswert der Fläche.

Theorie

Ist ${\textstyle X}$ stetig mit Dichte ${\textstyle f_{X}(x)}$ und gilt ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }|g(x)|f_{X}(x)\,\mathrm {d} x<\infty }$, dann existiert der Erwartungswert von $Y$ und ist gegeben durch:

$\mathbb {E} (Y)=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\;\mathrm {d} x$

Lösungsvorschlag

Da die Seiten des Rechtecks ${\textstyle X}$ und ${\textstyle 1-X}$ sind, betrachten wir die Fläche ${\textstyle X\cdot (1-X)}$. Daraus berechnen wir den Erwartungswert ${\textstyle \mathbb {E} (X\cdot (1-X))}$:

$${\begin{aligned}\mathbb {E} (X\cdot (1-X))&=\int _{0}^{1}(x\cdot (1-x))\cdot 3x^{2}\;\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}3(1-x)x^{3}\;\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}-3(x-1)x^{3}\;\mathrm {d} x\\&=-3\cdot {\biggl [}\int _{0}^{1}x^{4}\;\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}x^{3}\;\mathrm {d} x{\biggr ]}\\&=-3\cdot ({\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{4}}{4}})\;{\biggr |}_{0}^{1}\\&={\frac {3x^{4}}{4}}-{\frac {3x^{5}}{5}}\;{\biggr |}_{0}^{1}\\&={\frac {3}{4}}-{\frac {3}{5}}={\frac {3}{20}}\end{aligned}}$$