TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS17/Beispiel 3.4

Die Verteilungsfunktion einer stetigen sG $X$ sei gegeben durch:

$F(x)={\begin{cases}0&x<0\\x^{2}/5&0\leq x\leq 1\\(-x^{2}+6x-4)/5\quad &1<x\leq 3\\1&x>3\end{cases}}$

(a) Stellen Sie die Verteilungsfunktion dar.

(b) Bestimmen Sie die Dichte und stellen Sie auch Letztere grafisch dar.

(c) Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: $P(X\leq 2)$, $P(1<X\leq 2)$, $P(1\leq X\leq 2)$ und $P(X>1/2)$.

Lösungsvorschlag

(a)

Ist im R-Code von Prof. Gurker angegeben.

(b)

Um die Dichte zu erhalten, muss man nur die einzelnen Intervalle der Verteilungsfunktion ableiten:

$f_{X}(x)={\begin{cases}(2x)/5&0\leq x\leq 1\\(6-2x)/5\quad &1<x\leq 3\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}$

Die grafische Darstellung befindet sich wieder im R-Code von Prof. Gurker.

(c)

Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten berechnen sich aus dem Integral der Dichtefunktion:

$P(X\leq 2)=\int _{0}^{1}{\frac {2t}{5}}\;\mathrm {d} t+\int _{1}^{2}{\frac {6-2t}{5}}\;\mathrm {d} t={\frac {t^{2}}{5}}{\Biggr |}_{0}^{1}+{\frac {6t-t^{2}}{5}}{\Biggr |}_{1}^{2}={\frac {1}{5}}+{\frac {3}{5}}={\frac {4}{5}}$

$P(1<X\leq 2)=\int _{1}^{2}{\frac {6-2t}{5}}\;\mathrm {d} t={\frac {6t-t^{2}}{5}}{\Biggr |}_{1}^{2}={\frac {3}{5}}$

$P(1\leq X\leq 2)=\int _{1}^{2}{\frac {6-2t}{5}}\;\mathrm {d} t={\frac {6t-t^{2}}{5}}{\Biggr |}_{1}^{2}={\frac {3}{5}}$

$P(X>1/2)=\int _{\frac {1}{2}}^{1}{\frac {2t}{5}}\;\mathrm {d} t+\int _{1}^{3}{\frac {6-2t}{5}}\;\mathrm {d} t={\frac {t^{2}}{5}}{\Biggr |}_{\frac {1}{2}}^{1}+{\frac {6t-t^{2}}{5}}{\Biggr |}_{1}^{3}={\frac {3}{20}}+{\frac {16}{20}}={\frac {19}{20}}$