TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS17/Beispiel 3.5

Die Grünphase (einschließlich Blinkphase) bei einer Fußgängerampel beträgt 25 Sekunden, die Rothphase 65 Sekunden. Sie kommen zu einem zufälligen Zeitpunkt zu dieser Ampel und X sei die Wartezeit. Bestimmen Sie:
(a) die Verteilungsfunktion von X (plus Zeichnung). Um welchen Verteilungstyp (diskret, stetig, gemischt) handelt es sich?
(b) die Wahrscheinlichkeit, dass Sie länger als 20 Sekunden warten.
(c) die (bedingte) Wahrscheinlichkeit, dass Sie noch mindestens weitere 20 Sekunden warten, wenn Sie bereits 20 Sekunden gewartet haben.
(d) das 10%-, 25%-, 50%- und das 90%-Quartil von X.

Lösungsvorschlag

(a)

$F(x)={\begin{cases}0&x<0\\a/(a+b)+x/(a+b)\quad &0\leq x\leq b,a=25,b=65\\1&x>b,b=65\end{cases}}$

Es handelt sich um eine gemischte Verteilungsfunktion.

(b)

$P(X>20)=1-F(20)=0.5$

(c)

${\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {P(X>40)}{P(X>20)}}={\frac {1-F(40)}{1-F(20)}}={\frac {\frac {5}{18}}{\frac {9}{18}}}={\frac {5}{9}}=0.{\dot {5}}$

(d)

Da das $p$-Quantil $x_{p}$ gegeben ist durch:

$x_{p}=F_{X}^{-1}(p)=90p-25$

gilt für das 10%-Quantil:

$x_{0.1}=90\cdot 0.1-25=-16\rightarrow 0$

für das 25%-Quantil:

$x_{0.25}=90\cdot 0.25-25=-2.5\rightarrow 0$

für das 50%-Quantil:

$x_{0.5}=90\cdot 0.5-25=20$

und für das 90%-Quantil:

$x_{0.9}=90\cdot 0.9-25=56$

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