TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS17/Beispiel 3.9

Die sG $X$ habe eine Verteilung mit der Dichte $f(x)=e^{-x},x>0$. Bestimmen Sie die Dichte von $Y={\sqrt {X}}$.

Verwenden Sie dazu

(a) die Methode der VF und

(b) den Transformationssatz.

Erstellen Sie eine Abbildung der Dichte.

Theorie

Für die Methode der Verteilungsfunktion müssen folgende Schritte absolviert werden:

1. Bestimme die Verteilungsfunktion ${\textstyle F_{X}}$ von ${\textstyle X}$.
2. Bestimme die Verteilungsfunktion ${\textstyle F_{Y}}$ von ${\textstyle Y=g(X)}$.
3. Falls ${\textstyle F_{Y}}$ absolut stetig, bestimme durch Ableiten ${\textstyle F_{Y}(y)={\frac {\mathrm {d} F_{Y}(y)}{\mathrm {d} y}}}$

Wenn die Funktion $g$ umkehrbar eindeutig ist, kann die Dichte von $Y=g(X)$ direkt mit dem Transformationssatz bestimmt werden durch:

$f_{Y}(y)=f_{X}(g^{-1}(y)){\biggl |}{\frac {\mathrm {d} g^{-1}(y)}{\mathrm {d} y}}{\biggr |},\quad y\in S_{Y}$

Lösungsvorschlag

Wir integrieren zuerst die Dichtefunktion $f_{X}$ um die Verteilungsfunktion $F_{X}$ zu erhalten:

$F_{X}(x)=\int _{0}^{x}{e^{-x}\;\mathrm {d} x}=1-e^{-x},\quad x>0$

Jetzt bestimmen wir die Verteilungsfunktion $F_{Y}$ von $Y=g(X)$:

$F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P({\sqrt {X}}\leq y)=P(X\leq y^{2})=F_{X}(y^{2})=1-e^{-y^{2}}$

Jetzt können wir, da ${\textstyle -e^{-y^{2}}}$ stetig ist, nach ${\textstyle y}$ ableiten, um die Dichtefunktion $f_{Y}(y)$ zu erhalten:

$f_{Y}(y)=1-e^{-y^{2}}\;\mathrm {d} y=2y\cdot e^{-y^{2}}$

Um den Transformationssatz anzuwenden, muss nur in die Formel eingesetzt werden:

$f_{Y}(y)=f_{X}(y^{2})\cdot 2y=2y\cdot e^{-y^{2}}$