TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS17/Beispiel 5.12

Die gemeinsame Dichte von ${\textstyle X}$ und ${\textstyle Y}$ sei gegeben durch:

$$f(x,y)={\begin{cases}Ce^{-(x+2y)}&0<x<\infty ,\;0<y<\infty \\0&{\text{sonst}}\end{cases}}$$

(a) Bestimmen Sie die Konstante ${\textstyle C}$ und stellen Sie die Dichte grafisch dar.

(b) Bestimmen Sie die Randdichten von ${\textstyle X}$ und ${\textstyle Y}$.

(c) Sind ${\textstyle X}$ und ${\textstyle Y}$ unabhängig?

(d) Bestimmen Sie ${\textstyle \mathbb {E} (Y|x)}$ und ${\textstyle \mathbb {E} (X|y)}$.

(e) Bestimmen Sie die Dichte von ${\textstyle Z=X/Y}$. (Hinweis: Bestimmen Sie zuerst die Verteilungsfunktion von ${\textstyle Z}$.)