TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS17/Beispiel 5.8

Ein Punkt ${\textstyle (X,Y)}$ wird zufällig im Einheitskreis um den Nullpunkt gewählt.

(a) Wie lautet die gemeinsame Dichte von ${\textstyle (X,Y)}$?

(b) Bestimmen Sie die Randdichten von ${\textstyle X}$ und ${\textstyle Y}$.

(c) Sind ${\textstyle X}$ und ${\textstyle Y}$ unabhängig?

(d) Zeigen Sie, dass die Kovarianz (und daher auch der Korrelationskoeffizient) von ${\textstyle X}$ und ${\textstyle Y}$ gleich Null ist.

(e) ${\textstyle D={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$ sei der Abstand des Punktes ${\textstyle (X,Y)}$ von ${\textstyle (0,0)}$. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion und die Dichte von ${\textstyle D}$ und berechnen Sie ${\textstyle \mathbb {E} (D)}$. (Hinweis: Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion mit Hilfe einer geometrischen Überlegung.)