TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS17/Beispiel 6.5

Ein System bestehe aus einer Arbeits– und einer Reservekomponente. Fällt die Arbeitskomponente aus, wird sie unverzüglich durch die Reservekomponente ersetzt. Wenn die Lebensdauern der Komponenten unabhängig exponentialverteilt mit Mittelwert 4 bzw. 3 sind, bestimmen Sie für die Zeitspanne bis zum Ausfall des Systems

(a) die Dichte und

(b) den Mittelwert und die Streuung.

(Zusatz: Simulieren Sie das System mehrere tausend Mal und beantworten Sie die Fragen empirisch.)

Lösungsvorschlag

(a)

Die Dichten der beiden Funktionen sind

$$f_{X}(x)={\frac {e^{-{\frac {x}{4}}}}{4}}\quad {\text{und}}\quad f_{Y}(x)={\frac {e^{-{\frac {x}{3}}}}{3}}$$

Daraus kann man mit Hilfe der Faltung die Dichte ${\textstyle f_{X+Y}(a)}$ berechnen:

$${\begin{aligned}f_{X+Y}(a)&=\int _{0}^{a}{\frac {e^{-{\frac {x}{4}}}}{4}}\cdot {\frac {e^{-{\frac {a-x}{3}}}}{3}}\;\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{a}{\frac {e^{-{\frac {3x-4(x-a)}{12}}}}{12}}\;\mathrm {d} x\end{aligned}}$$

Nach Substituierung ${\textstyle u=-{\frac {3x-4(x-a)}{12}}\rightarrow \mathrm {d} x=12\;\mathrm {d} u}$, Lösen des Integrals ${\textstyle \int e^{u}\;\mathrm {d} u}$ und Rücksubstitution erhält man:

$$f_{X+Y}(a)=e^{-{\frac {3x-4(x-a)}{12}}}\;{\Bigr |}_{0}^{a}=e^{\frac {x-4a}{12}}\;{\Bigr |}_{0}^{a}=e^{-{\frac {3a}{12}}}-e^{-{\frac {4a}{12}}}=e^{-{\frac {a}{4}}}-e^{-{\frac {a}{3}}}$$

(b)

Der Mittelwert der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Mittelwerte der Funktionen, also:

$$\mathbb {E} (f_{X+Y})=4+3=7$$

Die Varianz berechnet man so wie beim Mittelwert aus der Summe der Varianzen der beiden Funktionen:

$$\sigma ^{2}={\frac {1}{({\frac {1}{4}})^{2}}}+{\frac {1}{({\frac {1}{3}})^{2}}}=25$$

Damit ist die Streuung

$$\sigma ={\sqrt {25}}=5$$