TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Beispiel 2.13

[Chancen] Die Chance (engl odds) eines Ereignisses $A$ ist definiert als:

$\alpha ={\dfrac {P(A)}{P(A^{c})}}={\dfrac {P(A)}{1-P(A)}}$

Die Chance eines Ereignisses gibt an, um wieviel wahrscheinlicher der Eintritt gegenüber dem Nichteintritt des Ereignisses ist. Beträgt die Chance $\alpha$, so sagt man üblicherweise, dass die Chancen $\alpha :1$ zu Gunsten von $A$ stehen.

a) Angenommen, die Chancen für $A$ stehen 2/3 : 1. Wie groß ist $P(A)$?

b) Eine Hypothese $H$ treffe mit Wahrscheinlichkeit $P(H)$ zu. Nun wird ein neuer "Beweis" $E$ beobachtet. Zeigen Sie, dass die Chance von $H$ wie folgt transformiert:

${\dfrac {P(H|E)}{P(H^{c}|E)}}={\dfrac {P(H)}{P(H^{c})}}{\dfrac {P(E|H)}{P(E|H^{c})}}$

Illustrieren Sie diese Formel an der Situation von Aufgabe 2.12.

c) Vergleicht man die Chancen von zwei Ereignissen $A$ und $B$ spricht man vom Chancenverhältnis (engl. odds ratio):

${\dfrac {P(A)/P(A^{c})}{P(B)/P(B^{c})}}={\dfrac {P(A)[1-P(B)]}{P(B)[1-P(A)]}}$

Dieses Verhältnis gibt an, um wieviel wahrscheinlicher der Eintritt von $A$ gegenüber dem Eintritt von $B$ ist. Analog zu b) gilt nun:

${\dfrac {P(H|E)}{P(G|E)}}={\dfrac {P(H)}{P(G)}}{\dfrac {P(E|H)}{P(E|G)}}$

Wenn vor der Beobachtung von $E$ die Hypothese $H$ dreimal so wahrscheinlich wie die Hypothese $G$ ist, $E$ unter $G$ zweimal so wahrscheinlich wie unter $H$ ist, welche Hypothese ist nach der Beobachtung von $E$ wahrscheinlicher?

Lösungsvorschlag

a)

$\alpha ={\frac {2}{3}}$

${\begin{aligned}3P(A)&=2(1-P(A))\\5P(A)&=2\\P(A)&={\frac {2}{5}}\end{aligned}}$

b)

${\begin{aligned}P(H|E)&={\dfrac {P(H)P(E|H)}{P(E)}}\\P(H^{c}|E)&={\dfrac {P(H^{c})P(E|H^{c})}{P(E)}}\end{aligned}}$

... war's das schon?

c)

... das hatte niemand gelöst, hier ist das was der Stud.Ass. dann auf die Tafel gemalt hat:

$\underbrace {\dfrac {P(H|E)}{P(G|E)}} _{\text{a-posteriori Ratio}}={\dfrac {\quad P(H)\quad \overbrace {P(E|H)} ^{\text{W.keits-Ratio}}}{\underbrace {P(G)} _{\text{a-priori Ratio}}\ P(E|G)}}$

${\begin{aligned}P(H)&=3P(G)\\P(E|G)&=2P(E|H)\\\ldots &={\frac {3}{2}}\end{aligned}}$

von --Raven24 (Diskussion) 20:02, 27. Sep. 2014 (CEST)

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