TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie VO (Gurker)/0. Prüfungsordner Gurker (ab WS 2014)/Ausarbeitung Musterprüfung Wintersemester 2015

Entspricht der Prüfung vom 2015-10-14.

Aufgabe 1

${\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum x_{i}=3.0125$

${\widetilde {x}}={\frac {2.8+3.1}{2}}=2.95$

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum (x_{i}-{\overline {x}})^{2}=0.7698$

$s={\sqrt {s^{2}}}=0.8774$

Aufgabe 2

${\widetilde {x}}={\frac {90+92}{2}}=91$

$Q_{1}={\frac {70+75}{2}}=72.5$

$Q_{3}={\frac {98+100}{2}}=99$

$LF=Q_{1}-1.5(Q_{3}-Q_{1})=32.75$

$UF=Q_{3}+1.5(Q_{3}-Q_{1})=138.75$

Keine Ausreißer.

Aufgabe 3

$E(X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx=\int _{0}^{2}{\frac {3x^{3}}{8}}dx=\left.{\frac {3x^{4}}{32}}\right|_{0}^{2}=1.5$

$E(X^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)dx=\int _{0}^{2}{\frac {3x^{4}}{8}}dx=\left.{\frac {3x^{5}}{40}}\right|_{0}^{2}=2.4$

$Var(X)=E(X^{2})-(E(X))^{2}=0.15$

$F(X)=\int _{-\infty }^{x}f(x)dx=\int _{0}^{x}{\frac {3x^{2}}{8}}dx=\left.{\frac {3x^{3}}{24}}\right|_{0}^{x}={\frac {x^{3}}{8}}$

$F(X)={\begin{cases}0&\quad x\leq 0\\x^{3}/8&\quad 0<x<2\\1&\quad x\geq 2\\\end{cases}}$

Inversionsmethode:

$F^{-1}(X)={\sqrt[{3}]{8x}}$

$F^{-1}(0.3522)=1.4124$

Aufgabe 4

$Y=\min\{K_{1},K_{2}\},X=\max\{Y,K_{3}\}$

$F_{Y}(y)=1-\prod 1-F_{i}(y)=1-e^{-n\lambda y}=1-e^{-4y}$

$F_{X}(x)=\prod F_{i}(x)=(1-e^{-4y})(1-e^{-2y})=1-e^{-2y}-e^{-4y}+e^{-6y}$

$f_{X}(x)=F_{X}'(x)=2e^{-2y}+4e^{-4y}-6e^{-6y}$

$X$ ist eine Linearkombination aus drei Exponentialverteilungen mit $\lambda _{1}=2,\lambda _{2}=4,\lambda _{3}=6$ und $a_{1}=1,a_{2}=1,a_{3}=-1$, daher gilt $E(x)=\sum a_{i}E(x_{i})$:

$E(x)=1/2+1/4-1/6=7/12$

Aufgabe 5

a

$T\dots {\text{ Verdaechtiger ist Taeter}}$

$E\dots {\text{ Person hat Eigenart}}$

$P(T)=0.6$

$P(T^{c})=0.4$

$P(E|T)=0.9$

$P(E|T^{c})=0.2$

$P(T|E)={\frac {P(E|T)P(T)}{P(E|T)P(T)+P(E|T^{c})P(T^{c})}}=0.871$

b

$f_{X}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy=\int _{0}^{1}6x^{2}ydy=\left.{\frac {6x^{2}y^{2}}{2}}\right|_{0}^{1}=3x^{2}$

$f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx=\int _{0}^{1}6x^{2}ydx=\left.{\frac {6x^{3}y}{3}}\right|_{0}^{1}=2y$

Unabhängig?

$f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)=3x^{2}\cdot 2y=6x^{2}y=f(x,y)$

Ja.

Aus Unabhängigkeit folgt Unkorreliertheit.

c

Normalapproximation von $B(n,p)$:

$P(X\leq x)\approx \Phi \left({\frac {x+1/2-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)$

$n=1000,x=129,p=1/8$

$P(X\leq 129)\approx \Phi \left({\frac {129+1/2-125}{\sqrt {1000\cdot 1/8\cdot (1-1/8)}}}\right)=\Phi (0.43)=0.6664$

- Anmerkung: ist x nicht 130? bei stetigen Verteilungen ist die Punktwahrscheinlichkeit ja 0. Das heißt P(X<130) = P(X<=130)

Aufgabe 6

$n=8,{\overline {x}}_{n}=3.0125,s^{2}=0.7698,s=0.8774$

a

KI für $\mu$:

${\overline {x}}_{n}\pm t_{n-1;1-\alpha /2}{\frac {s_{n}}{\sqrt {n}}}=3.0125\pm t_{7;0.975}{\frac {0.8774}{\sqrt {8}}}=3.0125\pm 2.365{\frac {0.8774}{\sqrt {8}}}=(2.2789,3.7461)$

b

KI für $\sigma ^{2}$:

$\left({\frac {(n-1)S_{n}^{2}}{\mathrm {X} _{n-1;1-\alpha /2}^{2}}},{\frac {(n-1)S_{n}^{2}}{\mathrm {X} _{n-1;\alpha /2}^{2}}}\right)=\left({\frac {7\cdot 0.7698}{\mathrm {X} _{7;0.975}^{2}}},{\frac {7\cdot 0.7698}{\mathrm {X} _{7;0.025}^{2}}}\right)=\left({\frac {7\cdot 0.7698}{16.013}},{\frac {7\cdot 0.7698}{1.690}}\right)=(0.3365,3.1885)$

KI für $\sigma$:

$({\sqrt {0.3365}},{\sqrt {3.1885}})=(0.5801,1.7856)$

c

$T_{0}={\frac {{\overline {x}}_{n}-\mu _{0}}{s_{n}/{\sqrt {n}}}}={\frac {3.0125-3.5}{0.8774/{\sqrt {8}}}}=-1.5715$

$H_{0}$ verwerfen falls $|T_{0}|>t_{n-1;1-\alpha /2}$:

$t_{7;0.975}=2.365$

$H_{0}$ nicht verwerfen.

Aufgabe 7

a

Ja, da das Niveau von 5% weit unter dem p-Wert von 0.6729 liegt.

b

$s_{p}^{2}={\frac {(m-1)s_{X}^{2}+(n-1)s_{Y}^{2}}{m+n-2}}={\frac {9\cdot 18.26667+7\cdot 13.14286}{16}}\approx 16.025$

c

$T_{0}={\frac {({\overline {X}}-{\overline {Y}})-\Delta _{0}}{S_{p}{\sqrt {1/m+1/n}}}}={\frac {4.4-0}{4.0031\cdot {\sqrt {1/10+1/8}}}}=2.3172$

Größer als ${\textstyle t_{m+n-2;1-\alpha /2}=2.120}$?

${\textstyle \rightarrow }$ ja, daher ${\textstyle {\mathcal {H}}_{0}}$ verwerfen.

Aufgabe 8

a

$X\sim P(\lambda )$

$p(x)={\frac {\lambda ^{x}e^{-\lambda }}{x!}}$

$L(\lambda )=\prod p(x_{i};\lambda )=\prod {\frac {\lambda _{i}^{x}e^{-\lambda }}{x_{i}!}}$

$\ln L(\lambda )=\sum x_{i}\ln \lambda -\lambda -\ln x!$

${\frac {d\ln L(\lambda )}{d\lambda }}=\sum {\frac {x_{i}}{\lambda }}-1={\frac {1}{\lambda }}(\sum x_{i})-n$

Nullsetzen:

$0={\frac {1}{\lambda }}(\sum x_{i})-n$

${\widehat {\lambda }}={\frac {\sum x_{i}}{n}}$

Schätzwert: $38/5=7.6$

Changed 31/01/2017: Lambda-Formel war falsch (Zähler/Nenner vertauscht). Ergebnis macht jetzt auch wesentlich mehr Sinn.

b

TODO

c

Klasse	${\textstyle X_{i}}$	${\textstyle p_{i0}}$	${\textstyle np_{i0}}$	${\textstyle (X_{i}-np_{i0})^{2}/np_{i0}}$
1	31	0.2	40	2.025
2	35	0.2	40	0.625
3	41	0.2	40	0.025
4	40	0.2	40	0
5	53	0.2	40	4.225
Summe	200	1	200	6.9

Da wir auf dem Niveau 10% testen, ist die Teststatistik ${\textstyle Q_{4}=6.9}$ mit ${\textstyle \chi _{4;0.9}^{2}=7.779}$ zu vergleichen. Weil ${\textstyle 6.9\ngtr 7.779}$ ist, kann man davon ausgehen, dass die Beobachtungen aus einer diskreten uniformen Verteilung auf den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 stammen.

Weblinks

• https://web.archive.org/web/*/www.informatik-forum.at/showthread.php?112012-GURKER-Pr%FCfungsangabe-14-10-2015
• https://web.archive.org/web/*/www.informatik-forum.at/showthread.php?112997-Musterpr%FCfung-WS15-Ausarbeitung
• https://web.archive.org/web/*/www.informatik-forum.at/showthread.php?112470-GURKER-Musterpr%FCfung-WS15-3d