TU Wien Diskussion:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 12

[a^(n + 1) + b^(n + 1)] + [a^n + b^n] = [a^(n + 2) + b^(n + 2)]

Diese Zeile kann nicht richtig sein, denn wenn a = 1 und b=2 und n=1 gilt dann kommt man auf:

1^2+2^2+1^1+2^1=1^3+2^3 8=1+8 ist eine falsche Aussage

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Kommentar darauf: a ist aber weder 1, noch b 2; die 2 Variablen sind nur Ersetzungen für fix vorgegebene Terme

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Hallo! Ich gebe meinem Vorposter recht, die angegebene Zeile ist nicht richtig, hier erzeugt man einen Zirkelschluss. Man darf zwar ersetzen L_2 mit L_1 + L_0, denn das weiß man ja aus der Angabe, das ist somit Teil der Voraussetzung. Aber man darf nicht einfach sagen [a^(n + 1) + b^(n + 1)] + [a^n + b^n] = [a^(n + 2) + b^(n + 2)], hier setzt man nämlich aus der Induktionsbehauptung und nicht aus der Voraussetzung ein! Dh. man versucht etwas zu beweisen und benutzt das, was man versucht zu beweisenn, um es zu beweisen ;) Jemand hat es gestern in der UE so vorgerechnet und der Professor war nicht erfreut...

lg

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Den Fehler der Lösung der hier angegeben wird, ist kein Fehler, denn klar kann ich L(n+2)=L(n+1)+L(n) sagen und darin auch aus der zu beweisenden Formel einsetzen, denn der Ausdruck[L(n+2)=L(n+1)+L(n)] muss stimmen, weil er in der Angabe als Notwendigkeit definiert wird.

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Ich denke beide Vorposten haben teilweise Recht. Genau genommen wird versucht $P(n+2)$ mit $P(n+1)$ und $P(n)$ zu beweisen. Aber man will ja eigentlich garnicht $P(n+2)=L_{n+2}$ beweisen, sondern $P(n+1)=L_{n+1}$. Das lässt sich aber beheben in dem man als Induktionsbehauptung $L_{n+1}=L_{n-1}+L_{n}=a^{n+1}+b^{n+1}=a^{n}+b^{n}+a^{n-1}+b^{n-1}$ statt $L_{n+2}=L_{n}+L_{n+1}$ nimmt. Dann werden nur $P(n)$ und $P(n-1)$ benötigt (welche sehr wohl angenommen werden dürfen). Es ändern sich zwar die Exponenten von $a$ und $b$, aber der Lösungsweg bleibt derselbe.