TU Wien Nav:Mathematik für Informatik (Buch)/3.11

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3.11 Bestimmen Sie die inverse Matrix A^{-1} und die Matrix A^{3} zur Matrix

(a) A = \begin{pmatrix}-1 & 3 & 2 \\ -2 & 4 & 6 \\ 1 & -2 & 2\end{pmatrix},      (b) B = \begin{pmatrix}1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ -1 & -2 & 2\end{pmatrix}

Lösungen[Bearbeiten]

(a)[Bearbeiten]


A^{3} = A \cdot A \cdot A
Das bedeutet im Prinzip einfach wiederholte Matrixmultiplikation: Wikipedia Matrixpotenz

A^{3} = (\begin{pmatrix}-1 & 3 & 2 \\ -2 & 4 & 6 \\ 1 & -2 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1 & 3 & 2 \\ -2 & 4 & 6 \\ 1 & -2 & 2\end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix}-1 & 3 & 2 \\ -2 & 4 & 6 \\ 1 & -2 & 2\end{pmatrix} =
= 
\begin{pmatrix}
-1\cdot (-1)+3\cdot (-2)+2\cdot 1 & -1\cdot 3+3\cdot 4-2\cdot2 & -1\cdot 2+3\cdot 6+2\cdot2
\\ -2\cdot (-1)+4\cdot(-2)+6\cdot 1 & -2\cdot 3+4\cdot 4+6\cdot (-2) & -2\cdot 2+4\cdot 6+2\cdot 2
\\ 1\cdot (-1)-2\cdot (-2)+2\cdot 1 & 1\cdot 3-2\cdot 4+2\cdot (-2) & 1\cdot 2-2\cdot 6+2 \cdot 2
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1 & 3 & 2 \\ -2 & 4 & 6 \\ 1 & -2 & 2\end{pmatrix} =
= \begin{pmatrix}-3 & 5 & 20 \\ 0 & -2 & 32 \\ 5 & -9 & -6\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1 & 3 & 2 \\ -2 & 4 & 6 \\ 1 & -2 & 2\end{pmatrix}=
= \begin{pmatrix}19 & -29 & 64 \\ 36 & -72 & 52 \\ 7 & -9 & -56\end{pmatrix}

Berechnen wir die Determinante um zu sehen, ob es sich um eine reguläre (invertierbare) Matrix handelt.
Bei einer 3x3 Matrix geht das am Einfachsten mithilfe der Regel von Sarrus:
\det(A) = \begin{vmatrix}-1 & 3 & 2 \\ -2 & 4 & 6 \\ 1 & -2 & 2\end{vmatrix} =
= -1\cdot4\cdot2+3\cdot6\cdot1+2\cdot(-2)\cdot(-2)-1\cdot4\cdot2-(-2)\cdot6\cdot(-1)-2\cdot(-2)\cdot3 = 10

Die Inverse existiert also und kann nach folgendem Schema berechnet werden (Siehe [1]):
A^{-1} = \begin{pmatrix}
a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \\
\end{pmatrix}^{-1} =
\frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}
ei - fh & ch - bi & bf - ce \\
fg - di & ai - cg & cd - af \\
dh - eg & bg - ah & ae - bd
\end{pmatrix}
A^{-1} = \frac{1}{10} 
\begin{pmatrix}
4\cdot2-6\cdot(-2) & 2\cdot(-2)-3\cdot2 & 3\cdot6-2\cdot4 \\
6\cdot1-(-2)\cdot2 & -1\cdot2-2\cdot1 & 2\cdot(-2)-(-1)\cdot6 \\
-2\cdot(-2)-4\cdot1 & 3\cdot1-(-1)\cdot(-2) & -1\cdot4-3\cdot(-2)
\end{pmatrix} =
= \frac{1}{10} 
\begin{pmatrix}
20 & -10 & 10 \\
10 & -4 & 2 \\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}

(b)[Bearbeiten]


B^{3} = \begin{pmatrix}1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ -1 & -2 & 2\end{pmatrix}^{3} =
\begin{pmatrix}5 & 1 & 24 \\ 4 & 10 & 40 \\ -7 & -15 & -10\end{pmatrix} \cdot 
\begin{pmatrix}1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ -1 & -2 & 2\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}3 & 11 & 124 \\ -16 & -28 & 148 \\ -27 & -61 & -124\end{pmatrix}

\det(B) = 8-18-8+8+12-12 = -10
B^{-1} = -\frac{1}{10}
\begin{pmatrix}
20 & -10 & 10 \\
-10 & 4 & -2 \\
0 & -1 & -2
\end{pmatrix} =
\frac{1}{10}
\begin{pmatrix}
-20 & 10 & -10 \\
10 & -4 & 2 \\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}