TU Wien Nav:Mathematik für Informatik (Buch)/3.11

3.11 Bestimmen Sie die inverse Matrix $A^{-1}$ und die Matrix $A^{3}$ zur Matrix

(a) $A={\begin{pmatrix}-1&3&2\\-2&4&6\\1&-2&2\end{pmatrix}}$,      (b) $B={\begin{pmatrix}1&3&2\\2&4&6\\-1&-2&2\end{pmatrix}}$

Lösungen

(a)

$A^{3}=A\cdot A\cdot A$
Das bedeutet im Prinzip einfach wiederholte Matrixmultiplikation: Wikipedia Matrixpotenz

$A^{3}=({\begin{pmatrix}-1&3&2\\-2&4&6\\1&-2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&3&2\\-2&4&6\\1&-2&2\end{pmatrix}})\cdot {\begin{pmatrix}-1&3&2\\-2&4&6\\1&-2&2\end{pmatrix}}=$
$={\begin{pmatrix}-1\cdot (-1)+3\cdot (-2)+2\cdot 1&-1\cdot 3+3\cdot 4-2\cdot 2&-1\cdot 2+3\cdot 6+2\cdot 2\\-2\cdot (-1)+4\cdot (-2)+6\cdot 1&-2\cdot 3+4\cdot 4+6\cdot (-2)&-2\cdot 2+4\cdot 6+2\cdot 2\\1\cdot (-1)-2\cdot (-2)+2\cdot 1&1\cdot 3-2\cdot 4+2\cdot (-2)&1\cdot 2-2\cdot 6+2\cdot 2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&3&2\\-2&4&6\\1&-2&2\end{pmatrix}}=$
$={\begin{pmatrix}-3&5&20\\0&-2&32\\5&-9&-6\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&3&2\\-2&4&6\\1&-2&2\end{pmatrix}}=$
$={\begin{pmatrix}19&-29&64\\36&-72&52\\7&-9&-56\end{pmatrix}}$

Berechnen wir die Determinante um zu sehen, ob es sich um eine reguläre (invertierbare) Matrix handelt.
Bei einer 3x3 Matrix geht das am Einfachsten mithilfe der Regel von Sarrus:
$\det(A)={\begin{vmatrix}-1&3&2\\-2&4&6\\1&-2&2\end{vmatrix}}=$
$=-1\cdot 4\cdot 2+3\cdot 6\cdot 1+2\cdot (-2)\cdot (-2)-1\cdot 4\cdot 2-(-2)\cdot 6\cdot (-1)-2\cdot (-2)\cdot 3=10$

Die Inverse existiert also und kann nach folgendem Schema berechnet werden (Siehe [1]):
$A^{-1}={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}}$
$A^{-1}={\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}4\cdot 2-6\cdot (-2)&2\cdot (-2)-3\cdot 2&3\cdot 6-2\cdot 4\\6\cdot 1-(-2)\cdot 2&-1\cdot 2-2\cdot 1&2\cdot (-2)-(-1)\cdot 6\\-2\cdot (-2)-4\cdot 1&3\cdot 1-(-1)\cdot (-2)&-1\cdot 4-3\cdot (-2)\end{pmatrix}}=$
$={\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}20&-10&10\\10&-4&2\\0&1&2\end{pmatrix}}$

(b)

$B^{3}={\begin{pmatrix}1&3&2\\2&4&6\\-1&-2&2\end{pmatrix}}^{3}={\begin{pmatrix}5&1&24\\4&10&40\\-7&-15&-10\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&3&2\\2&4&6\\-1&-2&2\end{pmatrix}}=$
${\begin{pmatrix}3&11&124\\-16&-28&148\\-27&-61&-124\end{pmatrix}}$

$\det(B)=8-18-8+8+12-12=-10$
$B^{-1}=-{\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}20&-10&10\\-10&4&-2\\0&-1&-2\end{pmatrix}}={\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}-20&10&-10\\10&-4&2\\0&1&2\end{pmatrix}}$