TU Wien Nav:Mathematik für Informatik (Buch)/3.25

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3.25 Man bestimme die Eigenwerte der Matrix A:

(a) \quad A = \begin{pmatrix}3 & -1 \\ -1 & 3\end{pmatrix} \quad
(b) \quad A = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}
(c) \quad A = 
\begin{pmatrix}
0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0
\end{pmatrix} \quad
(d) \quad A = 
\begin{pmatrix}
5 & -8 & 10 \\
-8 & 11 & 2 \\
10 & 2 & 2 \\
\end{pmatrix}

Lösungen[Bearbeiten]

(a)[Bearbeiten]

\det(\lambda \cdot I_2 - A) = \det(
\begin{pmatrix}
\lambda & 0 \\
0 & \lambda \\
\end{pmatrix} -
\begin{pmatrix}3 & -1 \\ -1 & 3\end{pmatrix}) =
\det(\begin{pmatrix}\lambda-3 & 1 \\ 1 & \lambda-3\end{pmatrix}) =
= \lambda^{2}-6\lambda+8

Lösen der quadratischen Gleichung:

\frac{6\pm\sqrt{4}}{2} = 3\pm1 = \{2, 4\}

(b)[Bearbeiten]

\det(\begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}) =
\det(\begin{pmatrix}\lambda-1 & 1 \\ 1 & \lambda-1\end{pmatrix}) =
\lambda^{2}-2\lambda

\frac{2\pm\sqrt{4}}{2} = 1\pm1 = \{0,2\}