TU Wien Nav:Mathematik für Informatik (Buch)/4.1d

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Sei a_n = \frac{1 + (-1)^{n}}{n^{2}}. Zeigen Sie, dass die Folge (a_{n})_{n\geq0} konvergiert, indem Sie zu beliebig vorgegebenem ε > 0 ein passendes N(ε) angeben.

Lösung[Bearbeiten]

Im Zähler erkennen wir die alternierende Folge (-1)^{n} wieder. Deshalb kann der Zähler nur die Werte 2 und 0 annehmen.
Damit können wir folgende Schranken abschätzen:


0 \leq \frac{1 + (-1)^{n}}{n^{2}} \leq \frac{2}{n^{2}}


Es ist leicht zu sehen, dass \lim_{n \to \infty} 0 = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} = 0
Dank dem Sandwich-Theorem wissen wir, dass damit auch \lim_{n \to \infty} \frac{1 + (-1)^{n}}{n^{2}} = 0

Wir nehmen die obere Schranke und wenden den gleichen Ansatz wie in 522 an:

\frac{2}{n^{2}} \leq \epsilon

N(\epsilon) = n \leq 2\sqrt{\epsilon}