TU Wien Nav:Mathematik für Informatik (Buch)/4.1d

Sei $a_{n}={\frac {1+(-1)^{n}}{n^{2}}}$. Zeigen Sie, dass die Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$ konvergiert, indem Sie zu beliebig vorgegebenem ε > 0 ein passendes N(ε) angeben.

Lösung

Im Zähler erkennen wir die alternierende Folge $(-1)^{n}$ wieder. Deshalb kann der Zähler nur die Werte 2 und 0 annehmen.
Damit können wir folgende Schranken abschätzen:

$0\leq {\frac {1+(-1)^{n}}{n^{2}}}\leq {\frac {2}{n^{2}}}$

Es ist leicht zu sehen, dass $\lim _{n\to \infty }0=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{n^{2}}}=0$
Dank dem Sandwich-Theorem wissen wir, dass damit auch $\lim _{n\to \infty }{\frac {1+(-1)^{n}}{n^{2}}}=0$

Wir nehmen die obere Schranke und wenden den gleichen Ansatz wie in 522 an:

${\frac {2}{n^{2}}}\leq \epsilon$

$N(\epsilon )=n\leq 2{\sqrt {\epsilon }}$