TU Wien Nav:Mathematik für Informatik (Buch)/5.2

Berechnen Sie (arcsin x)' und (arccos x)'.

Lösungsvorschlag von Enrimilan

(arcsin x)'

$f(x)=arcsin(x)$

Setzen wir $y=arcsin(x)\rightarrow x=sin(y)$

$f'(x)={\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\frac {dx}{dy}}}={\frac {1}{cos(y)}}={\frac {1}{\sqrt {1-sin^{2}(y)}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

(arccos x)'

$f(x)=arccos(x)$

Setzen wir $y=arccos(x)\rightarrow x=cos(y)$

$f'(x)={\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\frac {dx}{dy}}}=-{\frac {1}{sin(y)}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-cos^{2}(y)}}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Kommentar von steppenhahn

$sin^{2}(x)+cos^{2}(x)=1$

$\Rightarrow sin(x)={\sqrt {1-cos^{2}(x)}}$

$\Rightarrow cos(x)={\sqrt {1-sin^{2}(x)}}$

Hinweis

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