TU Wien Nav:Mathematik für Informatik (Buch)/7.28

Angabe

Gesucht ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung $y''-3y'-4y=2x$.

Lösung

Charakteristische Gleichung

(1)$\!\ y''-3y'-4y=2x$ $\!\ \lambda ^{2}-3\lambda -4=0$
Mittels der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhalten wir:
$\!\ \lambda _{1}=4,\lambda _{2}=-1$
Da die Lösungen der charakteristischen Gleichung $\!\ \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$ und $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$
setzen wir die homogene Lösung wie folgt an:
(2)$\!\ y_{H}=C_{1}e^{\lambda _{1}x}+C_{2}e^{\lambda _{2}x}=C_{1}e^{4x}+C_{2}e^{-x}$
Nun fehlt noch die partikuläre Lösung, da wir eine Störfunktion $\!\ s(x)=2x$ haben setzen wie die partikuläre Lösung wie folgt an:
(3)$\!\ y_{P}=Ax+B$
$\!\ y_{P}'=A$
$\!\ y_{P}''=0$

In die Gleichung (1) eingesetzt ergibt das nun:
$\!\ 0-3(A)-4(Ax+B)=3A-4B-4Ax=2x$
(4)$\!\ 3A-4B=0$
(5)$\!\ -4A=2$

Woraus sich folgendes ergibt:
$\!\ A=-{1 \over 2},\ B=6$ und weiters mit (3) $\!\ y_{P}=-{1 \over 2}x+6$
Die allgemeine Lösung ergibt also:
$\!\ y=y_{H}+y_{P}=C_{1}e^{4x}+C_{2}e^{-x}-{1 \over 2}x+6$