TU Wien Nav:Mathematik für Informatik (Buch)/7.28

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7.28[Bearbeiten]

Angabe[Bearbeiten]

Gesucht ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y''-3y'-4y=2x.

Lösung[Bearbeiten]

Charakteristische Gleichung

(1)\!\ y''-3y'-4y=2x \!\ \lambda^2-3\lambda-4=0
Mittels der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhalten wir:
\!\ \lambda_1=4, \lambda_2=-1
Da die Lösungen der charakteristischen Gleichung \!\ \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{R} und \lambda_1 \ne \lambda_2
setzen wir die homogene Lösung wie folgt an:
(2)\!\ y_H=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}=C_1e^{4x}+C_2e^{-x}
Nun fehlt noch die partikuläre Lösung, da wir eine Störfunktion \!\ s(x)=2x haben setzen wie die partikuläre Lösung wie folgt an:
(3)\!\ y_P=Ax+B
\!\ y_P'=A
\!\ y_P''=0

In die Gleichung (1) eingesetzt ergibt das nun:
\!\ 0-3(A)-4(Ax+B)=3A-4B-4Ax=2x
(4)\!\ 3A-4B=0
(5)\!\ -4A=2

Woraus sich folgendes ergibt:
\!\ A=-{1\over 2},\ B=6 und weiters mit (3) \!\ y_P=-{1\over 2}x+6
Die allgemeine Lösung ergibt also:
\!\ y=y_H+y_P=C_1e^{4x}+C_2e^{-x} - {1\over 2}x+6