TU Wien Nav:Mathematik für Informatik (Buch)/7.36

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Man bestimme die allgemeine Lösung für u(x,y) der inhomogenen eindimensionalen Wellengleichung 9u_{xx}-{1\over 4}u_{yy}=sin(x).


Lösung[Bearbeiten]

D'Almbert

9u_{xx}-{1\over 4}u_{yy}=sin(x)
Wir formen um auf: u_{xx}-{1\over 36}u_{yy}={sin(x) \over 9}
Die eindimensionale Wellengleichung hat die Form: \!\ u_{tt}-c^{2}*u_{xx}=f(x, t)
Daraus folgt für uns c \in \mathbb{R}, c^2={1\over 36}, c={1 \over 6}
Setzen wir also nach D'Almbert an:
\xi=y+cx=y+{1 \over 6}x
 \eta=y-{1 \over 6}x
\xi_x=c={1 \over 6}
 \eta_x=-c=-{1 \over 6}
\!\ \xi_y=1
 \!\ \eta_y=1

Weiters erhalten wir durch addition bzw. subtraktion von \xi und \eta:
x={\xi-\eta \over 2c}=3(\xi-\eta)=3\xi -3\eta
y={\xi-\eta \over 2}
Weiters definieren wir:
U(\xi,\eta)=u(3\xi -3\eta, {\xi-\eta \over 2}) = u(x,y)

Wir wissen ja nun dass u(x,y) = U(\xi,\eta) also können wir auch entsprechend U nach x und y ableiten:
\!\ u_x=U_\xi*\xi_x+U_\eta*\eta_x
u_{xx}=U_{\xi\xi}*{\xi_x}^2+U_{\eta\xi}*\eta_x\xi_x+U_{\xi\eta}*\xi_x\eta_x+U_{\eta\eta}*{\eta_x}^2

\!\ u_y=U_\xi*\xi_y+U_\eta*\eta_y
u_{yy}=U_{\xi\xi}*{\xi_y}^2+U_{\eta\xi}*\eta_y\xi_y+U_{\xi\eta}*\xi_y\eta_y+U_{\eta\eta}*{\eta_y}^2
Einsetzen Setzen wir nun also alles was wir haben in unsere Gleichung aus der Angabe ein:
U_{\xi\xi}{1\over 36}-U_{\eta\xi}{1\over 36}x-U_{\xi\eta}{1\over 36}+U_{\eta\eta}{1\over 36} - {1\over 36}(U_{\xi\xi}+U_{\eta\xi}+U_{\xi\eta}+U_{\eta\eta})={sin(3\xi -3\eta) \over 9}
Wie wir wissen besteht folgender Zusammenhang: \!\ f_{xy}=f_{yx}
Woraus und in anbetracht der wegfallenden Terme, weiters folgt:
-{4 \over 36}U_{\xi\eta}={sin(3\xi -3\eta) \over 9}
\!\ U_{\xi\eta}=-sin(3\xi -3\eta)
Integration Integrieren wir nun den Ausdruck nach  \xi und \eta:
\!\ \int \int U_{\xi\eta} d\xi d\eta =- \int \int sin(3\xi -3\eta) d\xi d\eta
\!\ \int U_{\eta} d\eta = {1\over 3} \int cos(3\xi -3\eta) d\eta + G(\eta)
\!\ U=-{1\over 9} sin(3\xi -3\eta) + G(\eta) + H(\xi)
Und finally:
\!\ u=-{1\over 9} sin(x) + G(y-{1\over 6}x) + H(y+{1\over 6}x)
mit G und H als beliebige differenzierbare Funktionen in einer Variablen.