Man bestimme die allgemeine Lösung für
der inhomogenen eindimensionalen Wellengleichung
.
D'Almbert
![{\displaystyle 9u_{xx}-{1 \over 4}u_{yy}=sin(x)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=27948f26019fa5c9b1488189aa61d8e5&mode=mathml)
Wir formen um auf:
![{\displaystyle u_{xx}-{1 \over 36}u_{yy}={sin(x) \over 9}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=875958391e811a7381fb78b3332f8adc&mode=mathml)
Die eindimensionale Wellengleichung hat die Form:
![{\displaystyle \!\ u_{tt}-c^{2}*u_{xx}=f(x,t)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f098b40dc85cdfa2ff403246939b0be6&mode=mathml)
Daraus folgt für uns
![{\displaystyle c\in \mathbb {R} ,c^{2}={1 \over 36},c={1 \over 6}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=da045f96999af086f04e1fff17702ecb&mode=mathml)
Setzen wir also nach D'Almbert an:
![{\displaystyle \xi =y+cx=y+{1 \over 6}x}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4eefc3e070a7783e7e39e79bdc3f0216&mode=mathml)
![{\displaystyle \eta =y-{1 \over 6}x}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=70f522f1a62c8f751d88b77ed5a5fca4&mode=mathml)
![{\displaystyle \xi _{x}=c={1 \over 6}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=55c1fcd49905817264c774993b992303&mode=mathml)
![{\displaystyle \eta _{x}=-c=-{1 \over 6}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8157bac97fc8fe5974426bf4da7e4eb1&mode=mathml)
![{\displaystyle \!\ \xi _{y}=1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2452ae0a4d0829f16dced9bb69d49982&mode=mathml)
![{\displaystyle \!\ \eta _{y}=1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9a46b8c27a39801db950bb1964cb3689&mode=mathml)
Weiters erhalten wir durch addition bzw. subtraktion von
und
:
![{\displaystyle x={\xi -\eta \over 2c}=3(\xi -\eta )=3\xi -3\eta }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c1195a24440055e052706e1680f9e030&mode=mathml)
Weiters definieren wir:
Wir wissen ja nun dass
also können wir auch entsprechend U nach x und y ableiten:
![{\displaystyle \!\ u_{x}=U_{\xi }*\xi _{x}+U_{\eta }*\eta _{x}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2c57c63fd5cd2a6b1dc8548995725f34&mode=mathml)
![{\displaystyle u_{xx}=U_{\xi \xi }*{\xi _{x}}^{2}+U_{\eta \xi }*\eta _{x}\xi _{x}+U_{\xi \eta }*\xi _{x}\eta _{x}+U_{\eta \eta }*{\eta _{x}}^{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1cec672d9033e88148d268ddd4e448bb&mode=mathml)
![{\displaystyle \!\ u_{y}=U_{\xi }*\xi _{y}+U_{\eta }*\eta _{y}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=83bb93b6fc97012f1cb7477726f3d7be&mode=mathml)
![{\displaystyle u_{yy}=U_{\xi \xi }*{\xi _{y}}^{2}+U_{\eta \xi }*\eta _{y}\xi _{y}+U_{\xi \eta }*\xi _{y}\eta _{y}+U_{\eta \eta }*{\eta _{y}}^{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=efd2c90836bd9a531d6f4eaaf3b8effa&mode=mathml)
Einsetzen
Setzen wir nun also alles was wir haben in unsere Gleichung aus der Angabe ein:
Wie wir wissen besteht folgender Zusammenhang: ![{\displaystyle \!\ f_{xy}=f_{yx}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=12b213b7bb8cab87b8ec425b279e1778&mode=mathml)
Woraus und in anbetracht der wegfallenden Terme, weiters folgt:
Integration
Integrieren wir nun den Ausdruck nach
und
:
![{\displaystyle \!\ \int \int U_{\xi \eta }d\xi d\eta =-\int \int sin(3\xi -3\eta )d\xi d\eta }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=29922314fd0bded5b123550f9b3e8639&mode=mathml)
![{\displaystyle \!\ \int U_{\eta }d\eta ={1 \over 3}\int cos(3\xi -3\eta )d\eta +G(\eta )}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3e369662082a860a5b38ea259b6f5899&mode=mathml)
![{\displaystyle \!\ U=-{1 \over 9}sin(3\xi -3\eta )+G(\eta )+H(\xi )}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2f56098d1b580f4638652b55bc29133c&mode=mathml)
Und finally:
![{\displaystyle \!\ u=-{1 \over 9}sin(x)+G(y-{1 \over 6}x)+H(y+{1 \over 6}x)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c77f9626cbe5582e7a98272c67a8aa97&mode=mathml)
mit G und H als beliebige differenzierbare Funktionen in einer Variablen.