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Dies ist eine Übersichtsseite für Textbausteine, welche einfach in Lösungsvorschlägen mit {{Baustein:Name}} eingebunden werden können.

Außerdem kann man sie wunderbar als "Glossar" und Formelsammlung für die Übung oder Prüfung missbrauchen! ;-)

(Für nähere Erklärungen zu Vorlagen siehe z.B. Wikipedia).

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Die Bausteine sind hier so geordnet, wie sie in der Vorlesung/Übung behandelt/gebraucht werden.

  • Unklare/Unsinnige Bausteine gefunden? Bitte ausbessern!
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Danke (im Namen aller Kollegen) für die Mitarbeit!

Inhaltsverzeichnis

Logik[Bearbeiten]

Logische Negation[Bearbeiten]


\begin{array}{c|c}
x&\overline{x}\\\hline
0&1\\
1&0
\end{array}

Logische Konjunktion[Bearbeiten, WP]
Auch Und-Verknüpfung.


\begin{array}{cc|c}
x&y&x\wedge y\\\hline
0&0&0\\
0&1&0\\
1&0&0\\
1&1&1
\end{array}
HIDDEN Logische Disjunktion[Bearbeiten]

Auch Oder-Verknüpfung.


\begin{array}{cc|c}
x&y&x\vee y\\\hline
0&0&0\\
0&1&1\\
1&0&1\\
1&1&1
\end{array}
Baustein:Subjunktion
HIDDEN Bikonditional[Bearbeiten]

Auch Äquivalenz.


\begin{array}{cc|c}
x&y&x\equiv y\\\hline
0&0&1\\
0&1&0\\
1&0&0\\
1&1&1
\end{array}
HIDDEN Kontravalenz[Bearbeiten]

Auch Antivalenz und XOR.


\begin{array}{cc|c}
x&y&x\oplus y\\\hline
0&0&0\\
0&1&1\\
1&0&1\\
1&1&0
\end{array}

De Morgansche Gesetze[Bearbeiten, WP]


\begin{align}
\neg (a \and b) &= \neg a \or \neg b \\
\neg (a \or b)  &= \neg a \and \neg b
\end{align}
Baustein:Prädikat
Baustein:Aussage
Baustein:Modell
Baustein:Erfüllbarkeit
Baustein:Kontradiktion
Tautologie[Bearbeiten]

Eine Aussage ist tautologisch, wenn sie unter jeder Interpretation wahr ist.

Baustein:Disjunktive Normalform
HIDDEN Deduktionstheorem für aussagenlogische Formeln[Bearbeiten]

F_1,...,F_{n} \models G \, gilt genau dann, wenn F_1,...,F_{n-1} \models (F_n \rightarrow G) \, eine gültige Formel ist.

für n = 0 ist \models G \, gleichbedeutend mit "G \, ist gültig".

Folgerung: ... gilt genau dann, wenn (F_1 \and ... \and F_{n}) \rightarrow G \, eine gültige Formel ist.
HIDDEN Closed-world assumption (CWA) of theory T[Bearbeiten]

\begin{align}
T_{asm} & = \{\lnot P \mid P\,\, \text{ground atom}, \, T \nvDash P\} \\
\text{CWA}(T) & = \{\varphi \mid T \cup T_{asm} \models \varphi, \varphi\,\text{closed}\} = Cn(T \cup T_{asm})
\end{align}
HIDDEN CWA consistency theorem[Bearbeiten]

Let T \, be a consistent theory. Then:

\text{CWA}(T) \, is inconsistent iff there are ground atoms A_1,...,A_n \, such that

T \models A_1 \or ... \or A_n \,
but T \nvDash A_i \,, for all i = 1,...,n \,.

Mengen[Bearbeiten]

Baustein:Menge
HIDDEN Permutation einer Multimenge[Bearbeiten]
 \frac{(k_{1} + k_{2} + ... + k_{n})!}{k_{1}!*k_{2}!*...*k_{n}!}
HIDDEN Gegenmenge[Bearbeiten]

Die Gegenmenge \overline{M} einer Menge M in einem Universum E ist die Menge aller Elemente, die in E, aber nicht in M vorhanden sind.

\overline{M} = E \setminus M
HIDDEN Universum[Bearbeiten]

Das Universum (oder die Grundmenge) E ist eine Menge, die im aktuellen Kontext die Obermenge aller betrachteten Mengen M_i darstellt.

\forall i: M_i \subseteq E
Baustein:Mengen-Vereinigung
Baustein:Mengen-Durchschnitt
HIDDEN Mengen-Differenz[Bearbeiten]

A - B - A\B
e - e - ne
e - ne - e
ne - e - ne
ne - ne - ne


e .... ist Element
ne .... ist kein Element

=)

Symmetrische Differenz[Bearbeiten, WP]

Die symmetrische Differenz zweier Mengen enthält alle Elemente, die nur in einer der beiden Mengen vorhanden sind.

A \triangle B := (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)
HIDDEN Disjunkte Mengen[Bearbeiten]

Zwei Mengen A und B heißen disjunkt (oder elementfremd), wenn sie keine gemeinsamen Elemente besitzen.

A, B \; \text{disjunkt} \Longleftrightarrow A \cap B = \emptyset

Mehrere Mengen M_i heißen paarweise disjunkt, wenn je zwei Mengen keine gemeinsamen Elemente besitzen.

\forall i: \forall j \neq i: M_i \cap M_j = \emptyset
Baustein:Konjunkt
HIDDEN Potenzmenge[Bearbeiten]

Die Potenzmenge \mathcal{P}(M) einer Menge M ist die Menge aller Teilmengen von M.

Zu ihren trivialen Elementen zählen die leere Menge \emptyset und die Menge M selbst.

\mathcal{P}(M) := \lbrace T \mid T \subseteq M \rbrace
HIDDEN Mächtigkeit[Bearbeiten]

Mächtigkeit endlicher Mengen

Die Mächtigkeit (oder Kardinalität) einer endlichen Menge M entspricht der Anzahl der Elemente dieser Menge.

Sie wird als \vert M \vert oder \# M angeschrieben.

Zahlentheorie[Bearbeiten]

Baustein:Aleph
HIDDEN Peano-Axiome[Bearbeiten]
  1. 0 (Null) ist eine natürliche Zahl
  2. Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger
  3. 0 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl
  4. Verschiedene natürliche Zahlen besitzen verschiedene Nachfolger
  5. Jede Eigenschaft, welche 0 zukommt und sich von jeder natürlichen Zahl auf den Nachfolger überträgt, kommt bereits allen natürlichen Zahlen zu
Baustein:Natürliche Zahlen
Baustein:Ganze Zahlen
Baustein:Kardinalzahlen
Baustein:Rationale Zahlen
Baustein:Irrationale Zahlen
Baustein:Reelle Zahlen
Baustein:Komplexe Zahlen
Baustein:Vektoren
Baustein:Tensoren
Baustein:Zahlengerade
Baustein:Gaußsche Ebene

Primzahl teilt Quadrat[Bearbeiten]
wenn p|a^2 dann auch p|a

Es gelten folgende Voraussetzungen:

  • p muss eine Primzahl sein
  • a muss eine ganze Zahl sein

Es ist etwas Erklärung notwendig, um dieses Statement zu begründen. Laut Voraussetzung ist a eine natürliche Zahl. Es können 2 Fälle eintreten:

  1. a ist durch p teilbar. Dann ist auch a^2 durch p teilbar
  2. a ist nicht durch p teilbar. Dann ist auch a^2 auch nicht durch p teilbar: wenn p nicht in der Primzahlenzerlegung von a vorkommt, kann es auch nicht in der von a^2 vorkommen
Die Kontraposition des zweiten Falls: "Wenn a^2 durch p teilbar ist, dann auch a". (Wäre a nicht durch p teilbar dann auch a^2 nicht)

Komplexe Zahlen[Bearbeiten]

HIDDEN Umrechnung komplex[Bearbeiten]

Umrechnung von komplexen Zahlen:

  • Kartesische \longrightarrow Polar-Darstellung: \;(a, \mathsf{i}b)\;\rightarrow\;[r, \varphi]:
r=\sqrt{a^2+b^2},
\varphi=\begin{cases}
\arctan\frac{b}{a}&a>0\qquad\text{(I., IV. Quadrant)}\\
\arctan\frac{b}{a}+\pi&a<0, b>0\quad\text{(II. Quadrant)}\\
\arctan\frac{b}{a}-\pi&a<0, b<0\quad\text{(III. Quadrant)}
\end{cases}
  • Polare \longrightarrow kartesische Darstellung: \;[r, \varphi]\;\rightarrow\;(a, \mathsf{i}b):\quad
\begin{cases}a=r\cdot\cos\varphi\\b=r\cdot\sin\varphi\end{cases}
HIDDEN Konjugation einer komplexen Zahl[Bearbeiten]

Bei der Konjugation einer komplexen Zahl wird der Imaginärteil invertiert.

  • Kartesische Darstellung: z=(a, \mathsf{i}b)\;\Rightarrow\;\overline{z}=(a, -\mathsf{i}b)
  • Polardarstellung: z=[r, \varphi]\;\Rightarrow\;\overline{z}=[r, -\varphi]
HIDDEN Addition komplex[Bearbeiten]

Addition von komplexen Zahlen in kartesischer Darstellung:

(a+\mathsf{i}b)+(c+\mathsf{i}d)=(a+c)+\mathsf{i}(b+d)
HIDDEN Multiplikation komplex[Bearbeiten]

Multiplikation von komplexen Zahlen in Polar-Darstellung:

[r_1, \varphi_1]\cdot[r_2, \varphi_2]=[r_1\cdot r_2, \varphi_1+\varphi_2]

\Rightarrow Division in Polar-Darstellung:

\frac{[r_1, \varphi_1]}{[r_2, \varphi_2]}=[r_1/r_2, \varphi_1-\varphi_2]
Baustein:Division komplex
HIDDEN Potenzierung komplex[Bearbeiten]

Potenzierung von komplexen Zahlen in Polar-Darstellung:

[r, \varphi]^n=[r^n, n\varphi]\quad\forall n\in\mathbb{Z}
HIDDEN Radizierung komplex[Bearbeiten]

Radizierung von komplexen Zahlen in Polar-Darstellung:

\sqrt[n]{[r, \varphi]}:\quad w_k=
[\sqrt[n]{r}, k\frac{\varphi2\pi}{n}]\quad k=0,\ldots,n-1.

Eine n-te Wurzel hat in \mathbb C also n Lösungen.

In der Gauß'schen Ebene skizziert, bilden die Lösungen ein regelmäßiges n-Eck um den Ursprung.
HIDDEN Eulerformel und Winkelfunktionen[Bearbeiten]

Eulersche Formel

e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi

(wobei \varphi \in \C, außerdem wenn \varphi = \pi dann kommt die s.g. Eulersche Identität raus: e^{i\pi} + 1 = 0)

Davon abgeleitet, wenn man jeweils versucht den Realteil oder den Imaginärteil zu erhalten (Addieren/Subtrahieren mit Fall -\varphi und dabei bedenken, dass Kosinus gerade und Sinus ungerade ist):

\cos \varphi = \frac{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}}{2}
\sin \varphi = \frac{e^{i\varphi} - e^{-i\varphi}}{2i}

Restklassen[Bearbeiten]

HIDDEN Vielfachheit[Bearbeiten]

Die Vielfachheit \nu_p(n) einer Primzahl p in einer natürlichen Zahl n ist der Exponent der Primzahl p in der Primfaktorzerlegung von n.

n = \prod_{p \in \mathbb{P}} p^{\nu_p(n)}

\nu_p(n) = k \quad falls \quad (p^k \mid n) \land (p^{k+1} \nmid n)
HIDDEN Teilbarkeit[Bearbeiten]

Eine ganze Zahl a heißt Teiler von b, wenn die Vielfachheit jeder Primzahl in b größer oder gleich der Vielfachheit in a ist. Die trivialen Teiler einer ganzen Zahl x sind x und 1.

a \mid b \Longleftrightarrow \forall p \in \mathbb{P}: \nu_p(b) \geq \nu_p(a)

Ist a Teiler von b, heißt b Vielfaches von a.

Die trivialen Vielfachen einer ganzen Zahl x sind x und 0.

Größter gemeinsamer Teiler[Bearbeiten, WP, 1.14 Definition]

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von zwei ganzen Zahlen a und b ist die größte positive natürliche Zahl, die Teiler beider Zahlen ist.

Die Vielfachheit jeder Primzahl p im größten gemeinsamen Teiler entspricht dem Minimum der Vielfachheiten von p in a und b.

\textrm{ggT}(a, b) := \prod_{p \in \mathbb{P}} p^{\min(\nu_p(a), \; \nu_p(b))}
HIDDEN Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)[Bearbeiten]

Das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei ganzen Zahlen a und b ist die kleinste positive natürliche Zahl, die Vielfaches beider Zahlen ist.

Die Vielfachheit jeder Primzahl p im kleinsten gemeinsamen Vielfachen entspricht dem Maximum der Vielfachheiten von p in a und b.

kgV(a, b) := \prod_{p \in \mathbb{P}} p^{max(\nu_p(a), \; \nu_p(b))}
HIDDEN Restklassen[Bearbeiten]

Restklassen modulo m:

\overline{a}=\lbrace a+km|k\in\mathbb{Z}\rbrace_{m}
HIDDEN Restklassenring[Bearbeiten]

Allgemein gilt:

Eine Restklassenring R_m bildet einen Körper, wenn m prim (ansonsten existiert i.A. kein multiplikatives Inverses).
Baustein:Beispiel EAN
HIDDEN Beispiel ISBN[Bearbeiten]

Definition des ISBN-Codes:

\text{ISBN:}\quad x_1\quad x_2x_3x_4\quad x_5x_6x_6x_7x_8x_9\quad p\;, wobei p Prüfziffer:
p\equiv x_1+2x_2+\cdots+9x_9\mod11.
Wenn p=10, dann wird p im ISBN-Code als "X" dargestellt.

Arithmetik[Bearbeiten]

HIDDEN Relation[Bearbeiten]
Eine Relation R zwischen zwei Mengen A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts A \times B. Ist \!\ A = B so spricht man von einer binären Relation. Anstelle von (a,b) \in R schreibt man auch \!\ aRb, anstelle von (a,b) \notin R auch aR\!\!\!/b.
HIDDEN Funktion[Bearbeiten]
Eine Funktion oder Abbildung f : A \to B von A nach B ist eine Relation  R_{f} \subseteq A \times B mit der Eigenschaft, dass zu jedem a \in A genau ein b \in B mit aR_{f}b existiert. Man schreibt dafür b = f(a). Der Graph einer Funktion f : A \to B ist die Menge \{(a, f(a))|a \in A\} \subseteq A \times B.
HIDDEN Gerade und ungerade Funktion[Bearbeiten]

Eine Funktion

  • heißt gerade, falls f(-x) = f(x), anschaulich ist so eine Funktion die y-Achse gespiegelt, Beispiel: Kosinus.
  • heißt ungerade, falls f(-x) = -f(x), anschaulich ist so eine Funktion um die eine und dann die andere Achse gespiegelt, Beispiel: Sinus.
Baustein:Verkettung

Dreiecksungleichung[Bearbeiten, WP, 3.77 Satz]

Für reelle Zahlen gilt: |a+b| \le |a| + |b|
Baustein:Binomische Gleichung
Baustein:Trinomische Gleichung
HIDDEN Große Lösungsformel[Bearbeiten]
ax^2+bx+c=0\quad\Longrightarrow\quad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Injektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]
"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet":

a_{1}, a_{2}  \in  A, a_{1} \neq a_{2} \Rightarrow f(a_{1}) \neq f(a_{2})

oder äquivalent:

a_{1}, a_{2}  \in  A, f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}

Surjektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]
Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf:

\forall b\in B\ \exists a\in A: b=f(a)

Bijektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]
Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt.

Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion  f^{-1}().
Baustein:Umkehrfunktion
HIDDEN Kommutativität[Bearbeiten]
\forall a,b\in M:\quad a\circ b=b\circ a

Reflexivität[Bearbeiten, WP, 1.55 Definition]

\forall a\in M:\quad aRa
HIDDEN Assoziativität[Bearbeiten]
\forall a,b,c\in M:\quad a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c

Transitivität[Bearbeiten, WP, 1.55 Definition]

\forall a,b,c\in M:\quad a\circ b\wedge b\circ c\Rightarrow a\circ c

Symmetrie[Bearbeiten, WP, 1.55 Definition]

\forall a,b \in M: aRb \Rightarrow bRa

Antisymmetrie[Bearbeiten, WP, 1.60 Definition]

\forall a,b\in M:\quad aRb\wedge bRa\Longrightarrow a=b
HIDDEN Halbordnung[Bearbeiten]

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Halbordnung oder partielle Ordnung, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

  • Reflexivität: \forall a\, \in A: aRa,
  • Antisymmetrie: \forall a,b\, \in A: (aRb \wedge bRa) \Rightarrow a = b,
  • Transitivität: \forall a,b,c\, \in A: (aRb \wedge bRc) \Rightarrow aRc.
Baustein:Vollordnung
HIDDEN Äquivalenzrelation[Bearbeiten]

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Äquivalenzrelation, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

Reflexivität: \forall a\, \in A: aRa,

Symmetrie: \forall a,b\, \in A: aRb \Rightarrow bRa,

Transitivität: \forall a,b,c\, \in A: (aRb \wedge bRc) \Rightarrow aRc.

Algebraische Strukturen[Bearbeiten]

HIDDEN Gruppeneigenschaften[Bearbeiten]

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

  1. Abgeschlossenheit: für a,b \in G ist a \circ b \in G (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das \circ entspricht einer Funktion  \circ: G \times G \rightarrow G
  2. Assoziativgesetz: a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c für alle a,b,c \in G.
  3. Einheitselement: Es existiert ein e \in G, so dass für alle a \in G gilt: a \circ e = e \circ a = a.
  4. Inverses Element: Für jedes a \in G gibt es ein inverses Element a' \in G (oder auch a^{-1}) so, dass gilt a \circ a' = a' \circ  a = e. Wobei das e das Einheitselement ist.
  5. Kommutativgesetz: a \circ b = b \circ a für alle a,b \in G.
Nr. Gruppoid Halbgruppe Monoid Gruppe Abelsche Gruppe
1
2
3
4
5
HIDDEN Gruppe[Bearbeiten]

Eine Gruppe (G, \circ) ist

  • abgeschlossen bzgl. der Operation \circ in G,
  • assoziativ: \forall a,b,c\in G:\quad a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c,
  • beinhaltet ein neutrales Element e: \quad\forall a:\quad a\circ e=a
  • sowie inverse Elemente: \forall a\quad\exists a^{-1}:\quad a\circ a^{-1}=e.
Baustein:Halbgruppe

Untergruppe[Bearbeiten, WP, 2.50 Definition]
U \subseteq G ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn:

  1.  U \neq \O
  2.  a,b \in U \Rightarrow a \circ b^{-1} \in U
HIDDEN Halbordnung[Bearbeiten]

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Halbordnung oder partielle Ordnung, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

  • Reflexivität: \forall a\, \in A: aRa,
  • Antisymmetrie: \forall a,b\, \in A: (aRb \wedge bRa) \Rightarrow a = b,
  • Transitivität: \forall a,b,c\, \in A: (aRb \wedge bRc) \Rightarrow aRc.
Baustein:Vollordnung
Baustein:Satz von Lagrange

Normalteiler[Bearbeiten, WP, 2.58 Definition]

Eine Untergruppe N\leq G heißt Normalteiler, wenn stets LNK = RNK gilt, d.h. aN=Na, \forall a\in G.

Für Normalteiler gilt: Die Menge der Nebenklassen \{aN \mid a\in G\} bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe G/N.
Baustein:Erzeugendensystem
HIDDEN Homomorphismus[Bearbeiten]

Seien (G, \circ) und (H, \star) Gruppen.

Eine Abbildung \varphi:G\rightarrow H heißt Homomorphismus, falls gilt: \varphi(a\circ b)=\varphi(a)\star\varphi(b)\quad\forall a,b\in G.

Homomorphiesatz[Bearbeiten, WP, 2.66 Definition]

Sei  \varphi : G \to H ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist die Faktorgruppe G/\ker(\varphi ) zum Bild \varphi(G) isomorph:

G/\ker(\varphi ) \cong \varphi(G)
Die Nebenklasse  a \circ \ker(\varphi) \in G/\ker(\varphi) entspricht dem Element \varphi(a) \in \varphi(G)
HIDDEN Lineare Abbildung[Bearbeiten]

Definition:

Seien <V, \oplus, K> und <W, \boxplus, K> Vektorräume über dem Körper K.

f: V\rightarrow W heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn

  1. \forall \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in V:\quad f(\overrightarrow{x}\oplus\overrightarrow{y})=f(\overrightarrow{x})\boxplus f(\overrightarrow{y})
  2. \forall \lambda\in K:\quad f(\lambda\overrightarrow{x})=\lambda f(\overrightarrow{x})

Jede lineare Abbildung kann auch durch eine Matrix M festgelegt werden, für die gilt:

\forall\overrightarrow{x}\in V:\quad f(\overrightarrow{x})=M\overrightarrow{x}

Basis[Bearbeiten, WP, 3.15 Definition]

Eine Basis B=\{\overrightarrow{b_1}, \overrightarrow{b_2},\ldots,\overrightarrow{b_n}\} ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem eines Vektorraumes mit

\forall\overrightarrow{x}\in Vektorraum: \exists \lambda_1,\ldots,\lambda_n\in K (K Körper):

\overrightarrow{x}=\lambda_1\overrightarrow{b_1}+\lambda_2\overrightarrow{b_2}+\cdots+\lambda_n\overrightarrow{b_n}, 
\quad(\lambda_i eindeutig bestimmt).

Dimension[Bearbeiten, WP, 3.17 Definition]

Die Dimension eines Vektorraums bezeichnet die Anzahl der Vektoren in jeder Basis von ihm. (Alle Basen eines Vektorraums enthalten dieselbe Anzahl von Vektoren.)
Baustein:Kern

Untervektorraum[Bearbeiten, WP, 3.05 Definition]

Sei \quad\langle U, +, K\rangle ein Vektorraum, \quad U\subseteq V heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

  • U\neq\varnothing
  • \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in U
\Longrightarrow\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U
\quad(U ist abgeschlossen bezüglich U+U)
  • \overrightarrow{x}\in U, \lambda\in K
\Longrightarrow\lambda\overrightarrow{x}\in U
\quad(U ist abgeschlossen bezüglich U\cdot K)
HIDDEN Verband äquivalent Halbordnung[Bearbeiten]

Satz (Idee von Leibniz):

Nach einer Idee von Leibniz kann man einen Verband  (M,\wedge, \vee) auch als eine Halbordnung darstellen (und umgekehrt). Zwischen dem Verband und der Halbordnung muss dann folgende Beziehung bestehen:

 a \leq b \quad \iff \quad a = a \wedge b \quad \iff \quad b = a \vee b \quad

Anders ausgedrückt:

 \mathrm{inf}(a,b) \iff a \wedge b \qquad \mathrm{sup}(a,b) \iff a \vee b

Kombinatorik[Bearbeiten]

Baustein:Permutation
Baustein:Produkt einer Permutation
Baustein:Inverses einer Permutation
Baustein:Transposition
Baustein:Fixpunkt
Baustein:Fehlstand
HIDDEN Signum einer Permutation[Bearbeiten]

\sgn(\pi) =(-1)^{\text{Anzahl der Inversionen von } \pi} = (-1)^{\text{Anzahl Zykel}+ \sum_{i}\text{Länge des i-ten Zykel}} \quad

Baustein:Permutation mit Wiederholung
Baustein:Fakultät

Binomialkoeffizient[Bearbeiten, WP, 2.03 Definition]

\forall n,k\in\mathbb{N}, k\leq n:\qquad\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Äquivalente Definition (Merkregel):

\binom{n}{k}=
\frac{\overbrace{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots(n-k+1)}^{k\;\text{Glieder}}}
{\underbrace{1\cdot2\cdots k}_{k\;\text{Glieder}}}

Spezialfall: \tbinom{n}{0}:=1

Binomischer Lehrsatz[Bearbeiten, WP, 2.05 Satz]

Für n \ge 0 und beliebige x, y \in \mathbb{C}:

\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k} y^{k} = (x+y)^n
Baustein:Variation
Baustein:Variation mit Wiederholung
Baustein:Pascalsches Dreieck
Baustein:Kombination
Baustein:Kombination mit Wiederholung
Baustein:Inkl-Exkl-Prinzip
Baustein:Siebformel
HIDDEN Schubfachprinzip[Bearbeiten]
Definition Schubfachprinzip: Seien m (verschiedene) Objekte in n disjunkte Mengen ("Kategorien", "Schubfächer") eingeteilt. Wenn m > n ist, so gibt es mindestens eine Kategorie, die mindestens zwei Objekte enthält.

Matritzen/LinAlg[Bearbeiten]

HIDDEN Lineare Abhängigkeit[Bearbeiten]

\lbrace\overrightarrow{x_1}, \overrightarrow{x_2},\ldots, \overrightarrow{x_n}\rbrace heißt linear abhängig, wenn

\exists\overrightarrow{x_i}:\quad\overrightarrow{x_i} ist Linearkombination aus \lbrace x_j|j\neq i\rbrace

Untervektorraum[Bearbeiten, WP, 3.05 Definition]

Sei \quad\langle U, +, K\rangle ein Vektorraum, \quad U\subseteq V heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

  • U\neq\varnothing
  • \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in U
\Longrightarrow\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U
\quad(U ist abgeschlossen bezüglich U+U)
  • \overrightarrow{x}\in U, \lambda\in K
\Longrightarrow\lambda\overrightarrow{x}\in U
\quad(U ist abgeschlossen bezüglich U\cdot K)
HIDDEN LGS-Äquivalenzumformungen[Bearbeiten]

Allgemein gilt:

Die Lösungsgesamtheit eines linearen Gleichungssystems ändert sich durch folgende Äquivalenzumformungen nicht:

  • Vertauschen zweier Zeilen/Spalten,
  • Multiplikation einer Zeile/Spalte mit einem Faktor \neq0,
  • Addition einer Zeile/Spalte (mit einem Faktor) zu einer anderen Zeile/Spalte.
Baustein:Matrizen-Addition
Baustein:Matrizen-Multiplikation
Baustein:Inverse Matrix
Baustein:Transponierte Matrix
Baustein:Determinante
Baustein:Sarrus-Notation
HIDDEN Hauptminorenkriterium[Bearbeiten]

Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind.
Eine symmetrische Matrix ist genau dann negativ definit, wenn die Hauptminoren M_k für die geraden k positiv und für die ungeraden k negativ sind (bzw. wenn -A positiv definit ist. Das alternierende Schema entsteht durch die Auswirkungen der elementaren Spalten/Zeilenumformungen)

(führende) Hauptminoren

Zum Beispiel:

A =
\begin{pmatrix}
4 & 2 & 2\\
2 & 2 & 3\\
2 & 3 & 14
\end{pmatrix}

1. Hauptminor:  \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix}

2. Hauptminor:  \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}

3. Hauptminor:  \begin{vmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 14 \end{vmatrix}
HIDDEN Elementare Spalten- und Zeilenumformungen[Bearbeiten]

Elementare Spalten- und Zeilenumformungen werden etwa beim Gauß'schen Eliminationsverfahren verwendet.

Für die nachfolgenden Beispiele sei

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\
                          3 & 4  \end{pmatrix}

det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\
                               3 & 4  \end{vmatrix} = 2*4 - 1*3 = 5

Die Beispiele sind anhand von Spaltenumformungen.

  1. Multipliziert man eine Spalte/Zeile einer Matrix \lambda mit einem Faktor \lambda \in K, so ist die Determinante der neuen Matrix det(A') = \lambda*det(A). z.B.: \lambda = 3 multipliziert mit 1. Spalte: det A'=\begin{vmatrix} 6 & 1 \\
                             9 & 4  \end{vmatrix} = 6*4 - 1*9 = 15
  2. Addiert man zu einer Spalte/Zeile einer Matrix das Vielfache einer anderen Spalte/Zeile, so verändert sich der Wert der Determinante nicht. z.B.: zwei Mal erste Spalte zu zweiter: det A'=\begin{vmatrix} 2 & 5 \\
                             3 & 10  \end{vmatrix} = 2*10 - 3*5 = 5
  3. Vertauscht man in einer Matrix A zwei Spalten/Zeilen, so ist die Determinante der neuen Matrix det(A_r) = -det(A). z.B. erste mit zweiter Spalte vertauscht: det A'=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\
                             4 & 3  \end{vmatrix} = 1*3 - 2*4 = -5

Eigenwertäquivalenz[Bearbeiten, 3.70 Satz]

Ein Skalar \lambda \in K ist genau dann ein Eigenwert einer quadratischen Matrix  A \in K^{n,n}, wenn \det(\lambda \cdot I_{n} - A) = 0.

Graphentheorie[Bearbeiten]

Baustein:Adjazenzmatrix
Baustein:Eulersche Linie
Baustein:Hamiltonsche Linie
Baustein:Gerüst
Baustein:Schatten
HIDDEN Baum[Bearbeiten]

Für einen Baum T gilt:

|V(G)| = |E(G)| + 1
Baustein:Kreis
Baustein:Kruskal-Algorithmus
Baustein:Dijkstra-Algorithmus

Differentialrechnung[Bearbeiten]

Stetigkeit[Bearbeiten, WP, 4.84 Definition]

Eine Funktion f\! ist stetig an der Stelle x_0\!, wenn f(x) \approx f(x_0) für alle x = x_0 \pm \epsilon gilt, und \epsilon\! hinreichend klein ist.

Der Funktionswert muss also bei der Annäherung an x_0 von links gleich sein, wie bei der Annäherung von rechts:

f(x_0) = \lim\limits_{x \rightarrow x_0-}{f(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow x_0+}{f(x)}
HIDDEN Stetigkeit - elementare Funktionen[Bearbeiten]

Satz: Seien f(x) und g(x) stetige Funktionen. Dann sind die folgenden Funktionen - auf geeigneten Definitionsbereichen - ebenfalls stetig:

  • f(x) \pm g(x)
  • f(x)*g(x)
  • \frac{f(x)}{g(x)} (falls g(x) \neq 0)
  • f(g(x)).
Da Polynome, Winkelfunktionen, Arcusfunktionen, Exponentialfunktionen und Logarithmen stetig sind, folgt daraus, dass alle elementaren Funktionen in ihrem Definitionsbereich stetig sind.

Umkehrfunktion einer stetigen, streng monotonen Funktion[Bearbeiten, 4.91 Satz]

Sei I = [a,b] ein Intervall und f\colon I \to \R eine streng monotone und stetige Funktion. Dann existiert die Umkehrfunktion f^{-1}\colon f(I) \to I und ist ebenfalls stetig.

Differenzierbarkeit[Bearbeiten, WP, 5.01 Definition]

Eine Funktion heißt differenzierbar im Punkt x_0, wenn

\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} sowohl von links, als auch von rechts, existiert.
HIDDEN Konvergenz einer Folge[Bearbeiten]

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

  1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
  2. Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.
    In \mathbb R (aber z.B. nicht in \mathbb Q!) gilt:
    • a_n \nearrow:\quad\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\text{sup}(a_n)_{n\in\mathbb N}
    • a_n \searrow:\quad\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\text{inf}(a_n)_{n\in\mathbb N}
  3. \lim x_n=x,\;\lim y_n=y\Longrightarrow\begin{cases}
\lim(x_n\pm y_n)=x\pm y\\
\lim(x_n\cdot y_n)=x\cdot y\\
\lim(\frac{x_n}{y_n})=\frac{x}{y}\qquad y_n, y\neq0
\end{cases}
HIDDEN Monotonie von Folgen und Reihen[Bearbeiten]
  • \langle x_n\rangle_{n\in\mathbb N} heißt monoton \begin{Bmatrix}\text{wachsend}\\\text{fallend}\end{Bmatrix}
\Longleftrightarrow\begin{cases}x_{n+1}\geq x_n\\x_{n+1}\leq x_n\end{cases}
  • \langle x_n\rangle_{n\in\mathbb N} heißt streng monoton \begin{Bmatrix}\text{wachsend}\\\text{fallend}\end{Bmatrix}
\Longleftrightarrow\begin{cases}x_{n+1}>x_n\\x_{n+1}<x_n\end{cases}
HIDDEN Monotonie - erste Ableitung[Bearbeiten]

Satz:

Für eine auf einem Intervall I differenzierbare Funktion f:I \rightarrow \mathbb{R} gilt: f(x) ist genau dann monoton wachsend (fallend) auf I, wenn f'(x) \geq 0 (f'(x) \leq 0) für alle x \in I. Falls die Ableitung auf I die strikte Ungleichung erfüllt, so ist f(x) auf I streng monoton.
HIDDEN Beschränktheit[Bearbeiten]

Beschränktheit von Folgen und Reihen:

  • \langle x_n\rangle_{n\in\mathbb N} heißt nach \begin{Bmatrix}\text{oben}\\\text{unten}\end{Bmatrix} beschränkt \Longleftrightarrow\exists a\in\mathbb R\quad\forall n\in\mathbb N:\begin{cases}x_n\leq a&\text{obere Schranke}\\x_n\geq a&\text{untere Schranke}\end{cases}
  • \langle x_n\rangle_{n\in\mathbb N} heißt beschränkt, wenn sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt.
HIDDEN Grenzwert von Folgen[Bearbeiten]

\langle x_n\rangle_{n\in\mathbb N} ist konvergent zum Grenzwert c, wenn \exists c\quad\forall\varepsilon>0\quad\exists N(\varepsilon)\quad\forall n\geq N(\varepsilon):\quad\left|x_n-c\right|<\varepsilon,

formal: \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=c.
HIDDEN Geometrische Folge[Bearbeiten]

Definition der geometrischen Folge:

a_n=q^n,\;q\in\mathbb R ist geom. Folge a_0=1,\;a_{n+1}=a_n\cdot q

Grenzwert:

\lim a_n=\begin{cases}0 & \left|q\right|<1\\
1 & q=1\\
+\infty & q>1\\
\text{divergent} & q\leq-1\end{cases}
HIDDEN Konvergenz einer Reihe[Bearbeiten]

Konvergenzeigenschaften von Reihen:

  • Satz: Ist \sum_{n=0}^\infty a_n konvergent, dann gilt \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0, aber nicht umgekehrt.
  • \sum a_n heißt absolut konvergent, wenn \sum\left|a_n\right| konvergent.
"absolut konvergent" \begin{Bmatrix}\Rightarrow\\\underset{i.A.}{\nLeftarrow}\end{Bmatrix} "konvergent", d.h. Absolute Konvergenz ist eine stärker bindende Aussage als Konvergenz.
HIDDEN Harmonische Reihe[Bearbeiten]

Definition der harmonischen Reihe:

\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}

Die harmonische Reihe ist streng monoton steigend und divergent.

Geometrische Reihe[Bearbeiten, WP, 4.37 Beispiel]

Eine geometrische Reihe {\textstyle \sum_{n=0}^{\infty}a_0\cdot q^n} ist:

  • konvergent für |q| < 1. Es gilt:
\sum_{n=0}^{\infty} a_0 q^n = \frac{a_0}{1-q}
  • divergent für |q| \ge 1

Majorantenkriterium[Bearbeiten, WP, 4.47 Satz]

Wenn \sum b_n konvergent und \left|a_n\right|\leq b_n\;\forall n, dann ist \sum a_n absout konvergent.

Minorantenkriterium[Bearbeiten, WP, 4.48 Satz]

Wenn \sum b_n divergent und \left|a_n\right|\geq b_n\;\forall n, dann ist \sum a_n auch divergent.

Wurzelkriterium[Bearbeiten, WP, 4.50 Satz]

Wenn \sqrt[n]{|a_n|}\leq q<1\;\forall n\geq n_0, dann ist \sum a_n absolut konvergent.

Falls hingegen \sqrt[n]{|a_n|}\geq 1\;\forall n\geq n_0, dann ist \sum a_n divergent.

Quotientenkriterium[Bearbeiten, WP, 4.52 Satz]

Wenn \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq q<1\;\forall n\geq n_0, dann ist \sum a_n absolut konvergent.

Falls hingegen \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\geq 1\;\forall n\geq n_0, dann ist \sum a_n divergent.

Leibniz-Kriterium[Bearbeiten, WP, 4.41 Satz]

Für eine alternierende Reihe \sum a_n, d.h. \sgn(a_n) \ = \ (-1)^n, und \left|a_n\right| monoton fallend und konvergent nach \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0 gilt:

\sum a_n ist konvergent.
HIDDEN Sandwich-Theorem[Bearbeiten]

Seien (a_{n})_{n\geq 0} und (b_{n})_{n\geq 0} konvergente Folgen mit \lim_{n\rightarrow +\infty}a_{n} = \lim_{n\rightarrow +\infty}b_{n} = a. Sei (c_{n})_{n\geq 0} eine Folge mit a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n} für fast alle n \in\mathbb{N}.

Dann folgt die Konvergenz von c_{n} und es gilt \lim_{n\rightarrow +\infty}c_{n} = a.

Cauchy-Kriterium[Bearbeiten, WP, 4.28 Definition]

\langle x_n\rangle_{n\in\mathbb N}:\quad\forall\varepsilon>0\quad\exists N(\varepsilon)\quad\forall n, m\geq N(\varepsilon):\quad\left|x_n-x_m\right|<\varepsilon.

Eine Cauchy-Folge ist stets konvergent (in \mathbb R).

Landau-Symbole[Bearbeiten, WP, 4.62 Definition]

Seien (a_{n})_{n\geq 0} und (b_{n})_{n\geq 0} Folgen. Dann schreibt man für n \to \infty:

  1. (i) a_{n}=O(b_{n}), falls es eine Konstante C>0 gibt, so dass \left | \frac{a_{n}}{b_{n}} \right |\leq C für fast alle n\in \mathbb{N} gilt.
  2. (ii) a_{n}=o(b_{n}), falls \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}} = 0 gilt.
  3. (iii) a_{n}\sim b_{n}, falls \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}} = 1 gilt.


HIDDEN Konvexität von Funktionen[Bearbeiten]

Eine Funktion f: I\rightarrow\mathbb R heißt konvex auf dem Intervall I, wenn für x_1, x_2\in I,\;x_1\neq x_2,\quad\alpha, \beta\in\mathbb{R},\;\alpha,\beta\geq0,\;\alpha+\beta=1 gilt:

f(\alpha x_1+\beta x_2)\leq\alpha f(x_1)+\beta f(x_2).
Gilt hier stets die Ungleichheit, so heißt f streng konvex.
Baustein:Konkavität
Baustein:Regel von 'l 'Hospital
HIDDEN Kurvendiskussion[Bearbeiten]

Nullstellen:

f(x) = 0\!

Extremwerte:

f'(x) = 0\!

  • Maximum, falls f''(x) < 0\!
  • Minimum, falls f''(x) > 0\!
  • Sattelpunkt, falls f''(x) = 0\!

Wendepunkte:

f''(x) = 0\! und f'''(x) \neq 0\!

Konvexität:

  • Linkskrümmung/Konvexbogen (nach oben offen), falls f''(x) > 0\!
  • Rechtskrümmung/Konkavbogen (nach unten offen), falls f''(x) < 0\!
In der Wikipedia findet sich dazu ein langer Artikel.
HIDDEN Hauptsatz über implizite Funktionen[Bearbeiten]

D \subseteq \mathbb{R}^2 offene Menge, F : D \to \mathbb{R} stetig differenzierbare Funktion, F(x_0, y_0) = 0, F_y(x_0, y_0) \neq 0

Dann gibt es in der Umgebung (x_0, y_0) eine eindeutig bestimmbare und stetig differenzierbare Lösung y(x) und es gilt:

y'(x) = -\frac{F_x(x, y(x))}{F_y(x, y(x))}

Integralrechnung[Bearbeiten]

HIDDEN Integrabilitätsbedingung[Bearbeiten]

Ein stetig differenzierbares Gradientenfeld f erfüllt folgende s.g. Integrabilitätsbedingung:

\frac{\partial f_i}{\partial x_j} = \frac{\partial f_j}{\partial x_i} \quad \forall\, i,j \in \{1 \dots n \}
In \R^3 wären das also \frac{\partial f_1}{\partial y}=\frac{\partial f_2}{\partial x}, \frac{\partial f_2}{\partial z}=\frac{\partial f_3}{\partial y} und \frac{\partial f_3}{\partial x}=\frac{\partial f_1}{\partial z}.

Dies ist hinreichend auf einfach zusammenhängenden Gebieten.

Einfach zusammenhängendes Gebiet[Bearbeiten]
Gebiet[Bearbeiten]

Eine offene und zusammenhängende (und nichtleere) Teilmenge D \subseteq \R^n heißt Gebiet. "Zusammenhängend" bedeutet dabei, dass zu je zwei beliebigen Punkten eine Kurve existiert welche diese verbindet und "offen", dass es keine Randpunkte gibt.

In einem einfach zusammenhängenden Gebiet (siehe auch Definition eines Gebiets) lässt sich jede geschlossene Kurve stetig auf einen Punkt auf ihr "zusammenziehen". Oder noch salopper formuliert darf es keine "durchgehende Löcher" ("Henkel") geben (eine geschlossene Kurve würde sich dort herum nicht zu einem Punkt zusammenziehen lassen).

Im \R^3 gehört der klassische Torus damit nicht dazu, allerdings schon eine Hochkugel. In \R^2 darf es einfach keine vollständig umschlossenen Löcher geben.
HIDDEN Integrationsgrenzen[Bearbeiten]

Regeln für Integrationsgrenzen

\int_a^b f(x) \,\mathrm dx = - \int_b^a f(x) \,\mathrm dx
\int_a^b f(x) \,\mathrm dx = - \int_{-a}^{-b} f(-x) \,\mathrm dx
Oft nützlich, wenn man es mit ungeraden/geraden Funktionen zu tun hat.
HIDDEN Kehrwert-Integral[Bearbeiten]

Integral eines Kehrwerts:

\int\frac{dx}{x}=\ln x+C
HIDDEN Kurvenintegral einer stetigen Funktion (Kurvenintegral erster Art)[Bearbeiten]

Kurvenintegral der Funktion f\colon\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} (wobei gilt, dass f(\vec c(t)) stückweise stetig ist) längs einer Kurve \vec c\colon[a,b]\to\mathbb R^n ist:

\int_a^b f(\vec c(t))\,\|\vec c'(t)\|\,\mathrm dt
HIDDEN Kurvenintegral über stetiges Vektorfeld (Kurvenintegral zweiter Art)[Bearbeiten]

Kurvenintegral des stetigen Vektorfelds \vec f\colon\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n längs der Kurve \vec c\colon[a,b]\to\mathbb R^n:

\int_\vec{c} \vec f(\vec x)\,\mathrm{d}\vec x=\int_a^b \left(\sum_{k=1}^n f_k(\vec c(t))\, c'_k(t) \right)\,\mathrm{d}t
Baustein:Oberflächenintegral

Partielle Integration[Bearbeiten, WP, 5.41 Satz]

\int u\;dv=uv-\int v\;du

alias

\int u(x)\;v'(x)=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)
HIDDEN Potenzintegral[Bearbeiten]

Integral einer Potenz:

\int x^n\;dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq-1)

Substitutionsregel[Bearbeiten, WP, 5.41 Satz]

\int f\bigl(u(x)\bigr)\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du mit u=u(x)
HIDDEN Taylor-Polynom[Bearbeiten]

Taylorpolynom n-ter Ordnung in einer Variablen im Entwicklungspunkt x_0:

f(x) = \sum_{k=0}^n {f^{(k)}(x_0) \over k!}(x-x_0)^k
HIDDEN Wegunabhängigkeit[Bearbeiten]
Integrabilitätsbedingung[Bearbeiten]

Ein stetig differenzierbares Gradientenfeld f erfüllt folgende s.g. Integrabilitätsbedingung:

\frac{\partial f_i}{\partial x_j} = \frac{\partial f_j}{\partial x_i} \quad \forall\, i,j \in \{1 \dots n \}
In \R^3 wären das also \frac{\partial f_1}{\partial y}=\frac{\partial f_2}{\partial x}, \frac{\partial f_2}{\partial z}=\frac{\partial f_3}{\partial y} und \frac{\partial f_3}{\partial x}=\frac{\partial f_1}{\partial z}.

Dies ist hinreichend auf einfach zusammenhängenden Gebieten.

Einfach zusammenhängendes Gebiet[Bearbeiten]
Gebiet[Bearbeiten]

Eine offene und zusammenhängende (und nichtleere) Teilmenge D \subseteq \R^n heißt Gebiet. "Zusammenhängend" bedeutet dabei, dass zu je zwei beliebigen Punkten eine Kurve existiert welche diese verbindet und "offen", dass es keine Randpunkte gibt.

In einem einfach zusammenhängenden Gebiet (siehe auch Definition eines Gebiets) lässt sich jede geschlossene Kurve stetig auf einen Punkt auf ihr "zusammenziehen". Oder noch salopper formuliert darf es keine "durchgehende Löcher" ("Henkel") geben (eine geschlossene Kurve würde sich dort herum nicht zu einem Punkt zusammenziehen lassen).

Im \R^3 gehört der klassische Torus damit nicht dazu, allerdings schon eine Hochkugel. In \R^2 darf es einfach keine vollständig umschlossenen Löcher geben.

Jedes Kurvenintegral von einem Gradientenfeld ist längs jeder stetig differenzierbaren Kurve wegunabhängig (Umkehrschluss gilt auch).

Wegunabhängigkeit eines Kurvenintegrals längs Kurve \vec c: [a, b] \rightarrow D (wobei D \subseteq \mathbb R^2 Gebiet auf welchem das Gradientenfeld ist) bedeutet:

  • dass ein solches Kurvenintegral allein durch Anfangs- und Endpunkt bestimmt ist
  • falls Kurve geschlossen ist, der Wert des Integrals 0 ergibt: \oint_\vec c \vec f(\vec x)\,\mathrm d \vec x= 0
  • ist F die Stammfunktion des Gradientenfelds dann gilt:

\int_\vec c\vec f(\vec x)\,\mathrm d \vec x= F(\vec c(b)) - F(\vec c(a))

Fourier-Analyse[Bearbeiten]

Baustein:Eulersche Formel
Baustein:Fourier-Koeffizienten
Baustein:Trigonometrische Polynome
Baustein:Orthogonalitätsrelationen
Baustein:Trigonometrische Reihe
Baustein:Rechenregeln für Fourier-Reihen
Baustein:Fourier-Differentation
Baustein:Fourier-Integration
HIDDEN Parseval'sche Gleichung[Bearbeiten]

Für eine T-periodische auf [0,T] stückweise stetige Funktion f(t) gilt:

\sum_{k=-\infty}^\infty|c_k|^2 = \frac{1}{T}\int_0^T|f(t)|^2 \,\mathrm dt
Baustein:Spektralkoeffizienten
HIDDEN Fourier-Matrix[Bearbeiten]

Fourier-Matrix: F_N=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & w & w^{2} & \cdots & w^{N-1} \\
1 & w^{2} & w^{4} & \cdots & w^{2(N-1)} \\
\vdots  & \vdots  & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & w^{N-1} & w^{2(N-1)} & \cdots & w^{(N-1)^{2}}\\
\end{pmatrix}
, mit w = e^{-\frac{i2\pi}{N}}

Inverse Matrix: F_N^{-1} = \overline{F_N}, wobei \overline{F_N} die komplex konjugierte Fourier-Matrix darstellt.

Wird statt w = e^{-\frac{i2\pi}{N}}, w = e^{\frac{i2\pi}{N}} verwendet, so müssen die Konjugationen vertauscht werden.
HIDDEN Diskrete Fourier-Transformationen[Bearbeiten]

DFT

Transformation in den Frequenzbereich. Entspricht Bestimmung der Fourier-Koeffizienten (Amplitude und Phase für jede Frequenz k).


c_k = \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1} y_j w^{-kj}, \quad \quad k=0,1,...N-1

bzw mit Fourier-Matrix F_N (Die inverse bzw. konjugiert komplexe Fourier-Matrix wird dafür benötigt  F_N^{-1} = \tfrac{1}{N} \overline{F_N})


\vec c = F_N^{-1} \vec y = \tfrac{1}{N} \overline{F_N} \vec y

IDFT

Rücktransformation in den Zeitbereich. Entspricht Rekonstruktion des Signals auf Basis der Fourier-Koeffizienten.


y_j = \sum_{k=0}^{N-1} c_k w^{kj}, \quad \quad j=0,1,...N-1  \quad\quad\quad w = e^{\frac {i2\pi}{N}}

bzw mit Fourier-Matrix:


\vec y = F_N \vec c

Wichtig: Die Normalisierung \tfrac{1}{N} kann entweder bei der DFT oder bei der IDFT vorgenommmen werden. Das ist reine Konventionssache.
Baustein:Laplace-Transformation

Differenzengleichungen[Bearbeiten]

HIDDEN Lineare Differenzengleichung erste Ordnung mit konstanten Koeffizienten[Bearbeiten]

Für die lineare Differenzengleichung erster Ordnung

x_{n+1} = ax_n + b, n=0,1,2,\dots

gilt, wenn a und b konstant sind,

x_n = a^nx_0 + (1 + a + \dots + a^{n-1})b =
\begin{cases}
a^nx_0 + b \frac{a^n-1}{a-1} & \text{ für } a \neq 1\\
x_0 + bn & \text{ für } a = 1
\end{cases}
.

Differentialgleichungen[Bearbeiten]

HIDDEN Produktansatz[Bearbeiten]

Beim Produktansatz trachtet man danach ein multiplikative Trennung der Variablen herbeizuführen:

u(x,y) = X(x) \cdot Y(y)

Statistik[Bearbeiten]

HIDDEN Additionstheorem für Wahrscheinlichkeiten[Bearbeiten]

In jedem Wahrscheinlichkeitsraum (M, \mathfrak{E}, W) gilt für Ereignisse A, B, A_k \in \mathfrak{E}

  1. W(A \cup B) = W(A) + W(B) - W(A \cap B)
  2. W \left ( \cup^n_{k=1} A_k \right ) = \sum^n_{m=1} \sum_{\{i_1, \ldots, i_m\} \subseteq \{1, \ldots, n\}} (-1)^{m-1} W(A_{i_1} \cap \cdots \cap A_{i_m} )
HIDDEN Arithmetisches Mittel[Bearbeiten]

\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i

R code: mean(x)
HIDDEN Arithmetisches Mittel bei Klasseneinteilung[Bearbeiten]
Gibt es \mathbf{\mathit{k}} Klassen, berechnet sich \mathbf{\mathit{\overline{x}}} approximativ als:
\overline{x} \cong \Bigl(\sum_{j=1}^k h_j c_j\Bigr) / \sum_{j=1}^k h_j = \sum_{j=1}^k f_j c_j
\mathbf{\mathit{c_j}} Klassenmitten
\mathbf{\mathit{h_j}} absolute Häufigkeiten in der Klasse
\mathbf{\mathit{f_j}} relative Häufigkeiten in der Klasse
HIDDEN Bayes'sche Formel[Bearbeiten]
W(H_i|A) = \dfrac{W(H_i) \cdot W(A|H_i)}{\sum^N_{k=1} W(H_k) \cdot W(A|H_k)} \quad \text{für } i = 1, \ldots, N
HIDDEN Bonferroni'sche Ungleichung[Bearbeiten]
P \left ( \bigcap^n_{i = 1} A_i \right ) \geq \sum^n_{i = 1} P ( A_i ) - (n - 1)
siehe auch: Wikipedia
HIDDEN Bool'sche Ungleichung[Bearbeiten]
P \left ( \bigcup^\infty_{i = 1} A_i \right ) \leq \sum^\infty_{i = 1} P ( A_i )
HIDDEN Quantil[Bearbeiten]

Das Quantil \mathbf{\mathit{Q_{\alpha}}} ist jener Wert, für den ein \alpha-Anteil der Daten kleiner oder gleich und ein (1-\alpha)-Anteil größer oder gleich \mathbf{\mathit{Q_{\alpha}}} ist.


\text{Ist } n\alpha =
\begin{cases}
	\text{ganzzahlig }	 &	\Rightarrow q_{\alpha}  = \frac{x_{n\alpha}+x_{n\alpha + 1}}{2}  \\
	\text{nicht ganzzahlig } &	\Rightarrow q_{\alpha}  =  x_{ \lfloor n\alpha \rfloor + 1} 
\end{cases}
HIDDEN Quartil[Bearbeiten]
Als Quartile bezeichnet man die beiden Quantile \mathbf{\mathit{q_{.25}}} und \mathbf{\mathit{q_{.75}}}
HIDDEN Median[Bearbeiten]

\mathbf{\mathit{\tilde{x}}} ist jener Wert, der die Menge der Beobachtungen in 2 gleiche Teile teilt: höchstens 50% der Werte sind kleiner und höchstens 50% sind größer als \mathbf{\mathit{\tilde{x}}}.

\mathbf{\mathit{\tilde{x}}} bezeichnet gleichzeitig das \mathbf{\mathit{q_{.5}}} Quantil
HIDDEN Modalwert[Bearbeiten]

Mitte jener Klasse, die die höchste Häufigkeit aufweist.

Gibt es mehrere Klassen mit der höchsten Häufigkeit (Nichteindeutigkeit) und liegen diese nebeneinander, so wird die Mitte jener zwei genommen. Andernfalls ist der Modalwert undefiniert.
HIDDEN Multiplikationstheorem[Bearbeiten]

Multiplikationstheorem für Wahrscheinlichkeiten:

Für Ereignisse A, B, A_k eines Wahrscheinlichkeitsraumes (M, \mathfrak{E}, W) gilt:

1) W(A \cap B) = W(A|B) \cdot W(B) = W(B|A) \cdot W(A)
2) W \left ( \cap^n_{k=1} A_k \right ) = W(A_1) \cdot W(A_2|A_1) \cdot W(A_3|A_1 \cap A_2) \cdots W(A_n|A_1 \cap \ldots \cap A_{n-1})
HIDDEN Varianz[Bearbeiten]
seien x_i - \bar{x} die Abweichung vom Mittelwert, so sei die Varianz s^2 definiert als:
s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
R code: var(x)
HIDDEN Standardabweichung[Bearbeiten]
seien x_i - \bar{x} die Abweichung vom Mittelwert so sei die Standardabweichung s \!\, definiert als:
s = \sqrt{ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 }
R code: sd(x)
HIDDEN Variationskoeffizient[Bearbeiten]
bezeichnet das Verhältnis von Stabw. zu Mittelwert v = \frac{s}{\bar{x}}
HIDDEN Interquartiler Abstand[Bearbeiten]

ist die Differenz der beiden Quartile:

IQR = Q_{.75}-Q_{.25} \!\,

Der IQR approximiert die Standardabweichung bei Vorliegen der Normalverteilung durch:

S_{IQR} = \frac{Q_{.75}-Q_{.25}}{1.349}
HIDDEN Medmed[Bearbeiten]
ist der Median der absoluten Abweichungen vom Median:
S_{Medmed} = \frac{1}{.6745} \cdot med ( \mid x_i - \tilde{x} \mid )
HIDDEN Spannweite[Bearbeiten]
Maximal- minus Minimalwert
HIDDEN Schiefe[Bearbeiten]

Schiefe: (skewness)

Sie zeigt an, ob und wie stark die Verteilung nach rechts (positive Schiefe) oder nach links (negative Schiefe) geneigt ist.
Formal ist die Schiefe das 3. (nominierte) zentrale Moment:
g_1 = \frac{1}{n} \sum \frac{(x_i - \bar{x})^3}{s^3}
HIDDEN Kurtosis[Bearbeiten]

Kurtosis: (Exzess, Wölbung)

Sie beschreibt die „Spitzigkeit“ der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
Formal ist die Kurtosis das um 3 verminderte, 4. (nominierte) zentrale Moment:
g_{2} = \sum \frac{(x_i - \bar{x})^4}{s^4}-3
Deutung:
g_{2} = 0: normalgipflig oder mesokurtisch.
g_{2} > 0: steilgipflig, supergaußförmig oder leptokurtisch.
g_{2} < 0: flachgipflig, subgaußförmig oder platykurtisch.
HIDDEN Allgemeiner Additionssatz[Bearbeiten]
P(A \cup B) = P(A)+P(B) - P(A \cap B)
HIDDEN Bedingte Wahrscheinlichkeit[Bearbeiten]
Die Wahrscheinlichkeit des Eintritts von B, wenn A vorher eingetreten ist. (B bedingt durch A).
P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}
Es gilt, wenn P(A) und P(B) größer 0 sind:
P(B \cap A) = P(A)P(B \mid A) = P(B)P(A \mid B)
HIDDEN Binomialverteilung[Bearbeiten]
P(E_i)={n \choose i} p^i (1-p)^{n-i}
HIDDEN Poissonverteilung[Bearbeiten]

"Verteilung der seltenen Ereignisse".

Sie nähert, wenn ein großes n und ein kleines p vorliegt, die Binomialverteilung sehr gut an. (Faustregel: p<.1 und n>50.) In diesem Fall ist \lambda = n \cdot p.


\begin{align}
\lambda =& g \cdot w  \quad \ldots\ \text{“Parameter” der Verteilung, glz. auch Erwartungswert und Varianz} \\
         & g \ldots\ \text{Ereignisrate} \\
         & w \ldots\ \text{Beobachtungsintervall} \\
\end{align}

W(\{i\}) = \dfrac{\lambda^i \cdot e^{-\lambda}}{i!}

(anm.: in der VO wird \mu statt \lambda verwendet.)

HIDDEN Konfidenzintervall[Bearbeiten]

Sie geben einen Bereich an, in dem der unbekannte Parameter mit einer bestimmen Wahrscheinlichkeit liegt.

( \overline{X} - z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{X} + z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} )
HIDDEN Klassische Wahrscheinlichkeit[Bearbeiten]

Kl. Wahrscheinlichkeit/Kombinatorik

p = \frac{\text{günstige}}{\text{mögliche}}

Probabilistisches Schließen[Bearbeiten]

HIDDEN Marginalisation[Bearbeiten]

\begin{align}
V & = \{A,B\}  \\
\text{P}(A) & = \text{P}(A,B) + \text{P}(A, \neg B) 
\end{align}
HIDDEN Conditional probability[Bearbeiten]

\text{P}(A|B) = \frac{\text{P}(A,B)}{\text{P}(B)} = \frac{\text{P}(B|A) * \text{P}(A)}{\text{P}(B)}
HIDDEN JPD in Bayesian networks[Bearbeiten]

\text{P}(V_1,...,V_n) = \prod_{i=1}^n \text{P}(V_i|Parents(V_i))

Topologie[Bearbeiten]

HIDDEN Gebiet[Bearbeiten]
Eine offene und zusammenhängende (und nichtleere) Teilmenge D \subseteq \R^n heißt Gebiet. "Zusammenhängend" bedeutet dabei, dass zu je zwei beliebigen Punkten eine Kurve existiert welche diese verbindet und "offen", dass es keine Randpunkte gibt.
HIDDEN Einfach zusammenhängendes Gebiet[Bearbeiten]
Gebiet[Bearbeiten]

Eine offene und zusammenhängende (und nichtleere) Teilmenge D \subseteq \R^n heißt Gebiet. "Zusammenhängend" bedeutet dabei, dass zu je zwei beliebigen Punkten eine Kurve existiert welche diese verbindet und "offen", dass es keine Randpunkte gibt.

In einem einfach zusammenhängenden Gebiet (siehe auch Definition eines Gebiets) lässt sich jede geschlossene Kurve stetig auf einen Punkt auf ihr "zusammenziehen". Oder noch salopper formuliert darf es keine "durchgehende Löcher" ("Henkel") geben (eine geschlossene Kurve würde sich dort herum nicht zu einem Punkt zusammenziehen lassen).

Im \R^3 gehört der klassische Torus damit nicht dazu, allerdings schon eine Hochkugel. In \R^2 darf es einfach keine vollständig umschlossenen Löcher geben.

Nichteingeordnete Vorlagen[Bearbeiten]

Ableitung des arccos[Bearbeiten, WP]

\mathrm{arccos}\,' (x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Folgt aus Umkehrregel.

Ableitung des arcsin[Bearbeiten, WP]

\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Folgt aus Umkehrregel.

Ableitung des Arkustangens[Bearbeiten, WP]

\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2}

Folgt aus der Umkehrregel.
HIDDEN Bogenlänge[Bearbeiten]

Bogenlänge einer ebenen Kurve: s=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+y'^2}dx


Bogenlänge einer ebenen Kurve in Parameterdarstellung/Vektordarstellung:
Parameterdarstellung/Vektordarstellung:  \vec x (t) = \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)
s=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{x'^2+y'^2}dt



Bogenlänge einer Raumkurve:

s=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}dt
HIDDEN Cos 2x[Bearbeiten]
\cos2\varphi=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi=1-2\sin^2\varphi=2\cos^2\varphi-1
HIDDEN Cos a plus b[Bearbeiten]
\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta
HIDDEN Deduktiver Abschluss[Bearbeiten]

deduktiver Abschluss:

Cn(T) = \left \{ \varphi \mid T \models \varphi \land \varphi \mathrel{\text{is closed}} \right \}
HIDDEN Definitheit[Bearbeiten]

Definition: Eine quadratische Form q(\vec x)=\vec x^TA\vec x (bzw. die zugehörige symmetrische Matrix A) heißt:

  1. positiv definit, falls q(\vec x)>0\quad\forall\vec x\neq\vec 0
  2. negativ definit, falls q(\vec x)<0\quad\forall\vec x\neq\vec 0
  3. positiv semidefinit, falls q(\vec x)\geq0\quad\forall\vec x
  4. negativ semidefinit, falls q(\vec x)\leq0\quad\forall\vec x
  5. indefinit sonst.
HIDDEN Eulersche Formel einfach[Bearbeiten]

Euler'sche Formel

e^{ix} = \cos x + i\sin x


Daraus folgt:

\cos x= \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}
\sin x= \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}
HIDDEN Funktionalmatrix[Bearbeiten]

Definition der Funktionalmatrix einer mehrdimensionalen Funktion f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m, d.h. f(x_1,\ldots,x_n)\doteq\begin{pmatrix}f_1(x_i)\\\vdots\\f_m(x_i)\end{pmatrix}:

J_f=\frac{\partial f}{\partial x}= 
\begin{pmatrix}
 \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & 
 \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & 
 \ldots & 
 \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\
 \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & 
 \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & 
 \ldots & 
 \frac{\partial f_m}{\partial x_n}
\end{pmatrix}

Grenzwert einer Folge[Bearbeiten, WP, 4.04 Definition]

Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge (a_n)_{n\geq0}, falls in jeder \epsilon-Umgebung von a fast alle Folgenglieder a_n liegen, d.h., falls

\forall\epsilon > 0 \quad \exists N(\epsilon)\in\mathbb{N} \quad \forall n>N(\epsilon):|a_n-a|<\epsilon
HIDDEN Hauptminoren[Bearbeiten]

Definition:

Die Determinanten der Teilmatrizen Ak einer quadratischen Matrix, die durch Streichung der n−k rechtesten Spalten und n−k untersten Zeilen entstehen, heißen Hauptminoren.

Wenn alle Hauptminoren einer symmetrischen quadratischen Matrix >0 sind, so ist die Matrix positiv definit.
HIDDEN Homogene Funktion[Bearbeiten]

Homogenität von Funktionen in mehreren Variablen:

Eine Funktion f(x_1, \dots, x_n) heisst homogen vom Grad r, falls für jedes feste \lambda > 0 und alle (x_1, \dots, x_n) aus dem Definitionsbereich von f gilt:

f(\lambda x_1, \dots, \lambda x_n) = \lambda^r (x_1, \dots, x_n)

Häufungspunkt einer Folge[Bearbeiten, WP, 4.04 Definition]

Wenn in jeder \epsilon - Umgebung von a \in \mathbb{R} unendlich viele Folgenglieder liegen, so ist a ein Häufungspunkt von (a_n)_{n \geq 0}.

Integralkriterium[Bearbeiten, WP, 5.62 Satz]

Sei f: [1, \infty) \to \mathbb{R} eine nichtnegative und monoton fallende Funktion. Dann ist das uneigentliche Integral

\int_{1}^{\infty} f(x)\;dx genau dann konvergent, wenn die Reihe \sum_{n=1}^{\infty} f(n) konvergiert.

Kettenregel[Bearbeiten, WP, 5.05 Satz]

Verkettungsregel der Differenziation:

\biggl(f\bigl(g(x)\bigr)\biggr)'=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

(Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung)
HIDDEN Konstantenregel[Bearbeiten]

Konstantenregel der Differenziation:

c=\text{const.}:\quad(cf)'=c\cdot f'
HIDDEN Kurvenintegral[Bearbeiten]

Kurvenintegral einer Funktion f:\mathbb{R}^n\to\mathbb R entlang einer Kurve k:[a,b]\to\mathbb{R}^n:

\int\limits_Kf\;ds=\int_a^bf(k(t))\cdot||k'(t)||\;dt
HIDDEN Lagrange'sches Interpolationspolynom[Bearbeiten]
p(x) = y_0 L_0(x) + y_1 L_1(x) + \ldots + y_n L_n(x)
wobei L_i(x) = \prod_{j \not= i} \frac{x-x_j}{x_i - x_j} = \frac{(x-x_0)\ldots (x - x_{i-1})(x-x_{i+1})\ldots (x-x_n)}{x_i - x_0)\ldots (x_i - x_{i-1})(x_i - x_{i+1})\ldots (x_i - x_n)}
HIDDEN Moivre'sche Formel[Bearbeiten]

(\cos x + i\, \sin x)^n = \cos(n\,x) + i\,\sin(n\,x)

HIDDEN Newton'sches Interpolationspolynom[Bearbeiten]
p(x) = b_0 + b_1 (x-x_0) + b_2 (x-x_0)(x-x_1) + \ldots + b_n (x-x_0)\ldots (x- x_{n-1})
HIDDEN Potenzableitung[Bearbeiten]

Ableitung einer Potenz:

\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}
Baustein:Pruduktregel
HIDDEN Quadratische Form[Bearbeiten]

Definition:

Die Quadratische Form aus einem Vektor \vec x=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} und einer symmetrischen quadratischen Matrix A_n=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix},\;a_{ij}=a_{ji}\;\forall i,j ist
q(\vec x)=\vec x^TA\vec x=\sum_{i,j=1}^na_{ij}x_ix_j.
  • Für z.B. den Fall n=2 ist also q(x,y)=\left(x\ y\right)\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=ax^2+2bxy+cy^2.
HIDDEN Kleine Lösungsformel[Bearbeiten]
x^2+px+q=0\quad\Longrightarrow\quad x_{1,2}=-\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\tfrac{p}{2}\right)^2-q}

Quotientenregel[Bearbeiten, WP, 5.05 Satz]

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}

Regel von l'Hospital[Bearbeiten, WP, 5.35 Satz]

Sind die Funktionen f und g in einer Umgebung von x_0

  • differenzierbar und
  • gilt f(x_0)=g(x_0)=0 und
  • existiert \lim_{x\to x_0}\left(\frac{f'(x)}{g'(x)}\right),

so gilt:

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.

Eine analoge Aussage gilt für x\to\infty, oder auch falls \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=\infty.
HIDDEN Satz von Fubini[Bearbeiten]

Sei B = \{(x,y) \in \mathbb R^2 | \varphi(y) \le x \le \psi(y), c \le y \le d\}, wobei \phi(y) und \psi(y) zwei stetige Funktionen sind. Dann gilt  \int \int_B f(x,y)\,dx\,dy = \int^d_c\int^{\psi(y)}_{\varphi(y)} f(x,y)\,dx\,dy

HIDDEN Sehnentrapezformel[Bearbeiten]
Q^{ST} = \frac{b-a}{2n} (y_0 + 2y_1 + 2y_2 + \ldots + 2y_{n-1} + y_n)
HIDDEN Signum einer Permutation[Bearbeiten]

\sgn(\pi) =(-1)^{\text{Anzahl der Inversionen von } \pi} = (-1)^{\text{Anzahl Zykel}+ \sum_{i}\text{Länge des i-ten Zykel}} \quad

HIDDEN Simpson'sche Regel[Bearbeiten]
Q^{SI} = \frac{b-a}{6n} (y_0 + 4y_1 + 2y_2 + 4y_3 + 2y_4 + \ldots + 2y_{2n-2} + 4y_{2n-1} + y_{2n})
HIDDEN Sin 2x[Bearbeiten]
Satz:
\sin 2\varphi=2\sin\varphi\cos\varphi
HIDDEN Sin a plus b[Bearbeiten]
\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta
HIDDEN Sinh²-cosh²[Bearbeiten]
cosh^{2}{x}-sinh^{2}{x}=1
HIDDEN Sin² als cos²[Bearbeiten]
\sin^2\varphi=1-\cos^2\varphi
HIDDEN Summenregel[Bearbeiten]

Summenregel der Differenziation:

(f\pm g)'=f'\pm g'

Taylorreihe[Bearbeiten, WP, 5.20 Definition]

f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n

Vektorraum[Bearbeiten, WP, 3.02 Definition]

Sei (V,+) eine abelsche Gruppe und K ein Körper. (V,+,K) heißt Vektorraum, wenn

 \forall \vec{x} , \vec{y} \in V, \forall \lambda, \mu \in K folgendes gilt:

  1. \lambda \cdot (\vec{x} + \vec{y}) = \lambda  \vec{x} + \lambda  \vec{y}
  2. (\lambda + \mu)\cdot\vec{x} = \lambda  \vec{x} + \mu  {x}
  3. (\lambda \cdot \mu) \cdot \vec{x} = \lambda \cdot (\mu \vec{x})
  4. 1 \cdot \vec{x} = \vec{x}
HIDDEN Äquivalenzklasse[Bearbeiten]

Sei R eine Äquivalenzklasse auf A. Für a \in A heißt die Menge

K(a) = \{b\in A|bRa\}
die von a erzeugte Äquivalenzklasse.