TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 55

Man beweise die folgenden Regeln für das Rechnen mit Kongruenzen:

   (a) a kongruent b mod m, c kongruent  d mod m => a + c kongruent  b + d mod m
   (b) a kongruent  b mod m, c kongruent  d mod m => a · c kongruent  b · d mod m
   (c) a·c kongruent  b·c mod m·c, c ungleich 0 => a kongruent  b mod m

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a)

 a kongruent b mod m
 -> definiert als: m|(a-b)

 c kongruent d mod m
 -> definiert als: m|(c-d)

 wenn m|(a-b) und m|(c-d), dann auch m|(a-b)+(c-d) 
 also somit m|(a+c)-(b+d)
 daraus folgt: (a+c) kongruent (b+d) mod m

b)

 a kongruent b mod m
 -> definiert als: m|(b-a)

 c kongruent d mod m
 -> definiert als: m|(d-c)

 -> m|(b-a)·d , da sich eine Multiplikation nicht bewirkt dass m nicht mehr (b-a) teilt!
 -> m|(d-c)·a , selber grund mit (d-c)

 -> m|b·d-a·d und m|a·d-a·c
 also -> m|(b·d-a·d)+(a·d+a·c)
 somit ergibt sich m|b·d-a·c => a·c kongruent b·d mod m

c)

 a·c kongruent b·c mod m·c wobei c ungleich 0
 -> m·c|b·c-a·c
 -> m·c|(b-a)·c, durch c teilen
 daraus folgt: m|(b-a) => a kongruent b mod m