TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 9

Gelten die folgenden Formeln? Geben Sie jeweils eine verbale Begründung.

• (a) $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{N}\mathrm{\exists }y\in \mathbb{N}:x<y$
• (b) $\mathrm{\exists }y\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }x\in \mathbb{N}:x<y$
• (c) $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{N}\mathrm{\exists }y\in \mathbb{N}:y<x$
• (d) $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{Z}\mathrm{\exists }y\in \mathbb{Z}:y<x$

(a) $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{N}\mathrm{\exists }y\in \mathbb{N}:x<y$

Angabe: Für alle natürlichen Zahlen gibt es eine natürliche Zahl y die größer ist. Aus der definition der natürlichen Zahlen (jede natürliche Zahl n hat einen Nachfolger n+1) folgt, dass diese Aussage gültig ist.

(b) $\mathrm{\exists }y\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }x\in \mathbb{N}:x<y$

Angabe: Es gibt eine natürliche Zahl y für die alle natürlichen Zahlen kleiner sind. Da alle natürlichen Zahlen auch die Zahl x selbst beinhalten ist diese Aussage ungültig. Aber auch für den Fall, dass man in der Angabe alle natürlichen Zahlen ohne die Zahl x meint, also $\mathrm{\exists }y\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }x\in \mathbb{N}\setminus \{y\}:x<y$ wäre sie ungültig, weil gleichbedeutend mit: "Es gibt eine größte natürliche Zahl". Es kann aufgrund der Definition der natürlichen Zahlen (jede natürliche Zahl n hat einen Nachgolger n+1) keine größte geben.

(c) $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{N}\mathrm{\exists }y\in \mathbb{N}:y<x$

Angabe: Für alle natürliche Zahlen gibt es (mindestens) eine natürliche Zahl y die kleiner ist. Es gibt eine natürliche Zahl (x=0) die keine kleineren natürlichen Zahlen hat. Die Aussage ist also ungültig.

(d) $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{Z}\mathrm{\exists }y\in \mathbb{Z}:y<x$

Angabe: Für alle ganzen Zahlen gibt es eine ganze Zahl y, die kleiner ist. Aus der Definition der ganzen Zahlen kann man sehen, dass es für jede ganze Zahl n einen Vorgägner n-1 gibt. Die Aussage ist also gültig.

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Lösung aus dem WS 2010: TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/Übungen_WS10/Beispiel_89

--Slaybert 10:54, 26. Jun. 2012 (CEST)