TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 9

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Gelten die folgenden Formeln? Geben Sie jeweils eine verbale Begründung.

  • (a) \forall x \in \mathbb{N} \exists y \in \mathbb{N} : x<y
  • (b) \exists y \in \mathbb{N}  \forall x \in \mathbb{N} : x<y
  • (c) \forall x \in \mathbb{N}  \exists y \in \mathbb{N} : y<x
  • (d) \forall x \in \mathbb{Z}  \exists y \in \mathbb{Z} : y<x

Inhaltsverzeichnis

(a) \forall x \in \mathbb{N} \exists y \in \mathbb{N} : x<y  [Bearbeiten]

Angabe: Für alle natürlichen Zahlen gibt es eine natürliche Zahl y die größer ist. Aus der definition der natürlichen Zahlen (jede natürliche Zahl n hat einen Nachfolger n+1) folgt, dass diese Aussage gültig ist.


(b) \exists y \in \mathbb{N}  \forall x \in \mathbb{N} : x<y  [Bearbeiten]

Angabe: Es gibt eine natürliche Zahl y für die alle natürlichen Zahlen kleiner sind. Da alle natürlichen Zahlen auch die Zahl x selbst beinhalten ist diese Aussage ungültig. Aber auch für den Fall, dass man in der Angabe alle natürlichen Zahlen ohne die Zahl x meint, also \exists y \in \mathbb{N}  \forall x \in \mathbb{N} \setminus \{y\} : x<y  wäre sie ungültig, weil gleichbedeutend mit: "Es gibt eine größte natürliche Zahl". Es kann aufgrund der Definition der natürlichen Zahlen (jede natürliche Zahl n hat einen Nachgolger n+1) keine größte geben.

(c) \forall x \in \mathbb{N}  \exists y \in \mathbb{N} : y<x  [Bearbeiten]

Angabe: Für alle natürliche Zahlen gibt es (mindestens) eine natürliche Zahl y die kleiner ist. Es gibt eine natürliche Zahl (x=0) die keine kleineren natürlichen Zahlen hat. Die Aussage ist also ungültig.


(d) \forall x \in \mathbb{Z}  \exists y \in \mathbb{Z} : y<x  [Bearbeiten]

Angabe: Für alle ganzen Zahlen gibt es eine ganze Zahl y, die kleiner ist. Aus der Definition der ganzen Zahlen kann man sehen, dass es für jede ganze Zahl n einen Vorgägner n-1 gibt. Die Aussage ist also gültig.


Lösung aus dem WS 2010: TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/Übungen_WS10/Beispiel_89

--Slaybert 10:54, 26. Jun. 2012 (CEST)