TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS13/Beispiel 18

Zeigen Sie, dass ${\sqrt {10}}$ irational ist!

Lösung

Behauptung: ${\sqrt {10}}\notin \mathbb {Q}$

Beweis: indirekter Beweis durch Widerspruch

Es seit $x={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q}$, also eine rationale Lösung der Gleichung $x^{2}=10$, also $({\frac {m}{n}})^{2}=10$ bzw. $m^{2}=10n^{2}$. Dabei gilt $m,n\in \mathbb {N}$, $m>0$ und $ggT(m,n)=1$. Nenner und Zähler des Bruch sind also teilerfremd, denn sonst könnte er noch weiter gekürzt werden.

Aus $m^{2}=10n^{2}$ folgt aber $10|m^{2}$ bzw. $10|m$ (Für eine genauen Beweis wieso $10|m^{2}\implies 10|m$ gilt, siehe unten). Das bedeutet aber, dass man $m=10k$ setzen kann und erhält damit $(10k)^{2}=10n^{2}$, bzw. $100k^{2}=10n^{2}$. Das kann man aber kürzen zu $10k^{2}=n^{2}$, woraus aber wiederum folgt, dass $10|n^{2}$ bzw. $10|n$. Wenn aber sowohl $10|m$ also auch $10|n$ gilt, kann $ggT(m,n)\neq 1$ nicht stimmen, was aber eine Ausgangsbedingung war. Es liegt ein Widerspruch vor, die Annahme ${\sqrt {10}}\in \mathbb {Q}$ ist falsch, also muss gelten ${\sqrt {10}}\notin \mathbb {Q}$.

Nebenbeweis:

Es soll vorkommen, dass gefragt wird wieso $10|m^{2}\implies 10|m$ korrekt ist. Die Antwort findet sich in der Primfaktorzerlegung.

[15.10.2013] Durchdenken kann man sich das ganze auch so: Wenn 10 eine Zahl teilt, so muss diese eine $0$ zum Schluss haben. Existiert nun eine Zahl $z\in \mathbb {N}$, die Quadriert eine $0$ am Ende hat, so muss auch diese ganze Zahl z ein Vielfaches von 10 sein. Jede Zahl die keine 0 als letzte Ziffer hat, hat quadriert auch keine 0 als letzte Ziffer.

Auf Wikipedia existiert eine allgemeine Lösung, welche die Primfaktorzerlegung verwendet. Im Vowi existiert auch eine Diskussion.