TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS13/Beispiel 18

Zeigen Sie, dass $\sqrt{10}$ irational ist!

Lösung

Behauptung: $\sqrt{10}\notin \mathbb{Q}$

Beweis: indirekter Beweis durch Widerspruch

Es seit $x=\frac{m}{n}\in \mathbb{Q}$, also eine rationale Lösung der Gleichung $x^2=10$, also $(\frac{m}{n}{)}^2=10$ bzw. $m^2=10n^2$. Dabei gilt $m,n\in \mathbb{N}$, $m>0$ und $ggT(m,n)=1$. Nenner und Zähler des Bruch sind also teilerfremd, denn sonst könnte er noch weiter gekürzt werden.

Aus $m^2=10n^2$ folgt aber $10|m^2$ bzw. $10|m$ (Für eine genauen Beweis wieso $10|m^2⟹10|m$ gilt, siehe unten). Das bedeutet aber, dass man $m=10k$ setzen kann und erhält damit $(10k{)}^2=10n^2$, bzw. $100k^2=10n^2$. Das kann man aber kürzen zu $10k^2=n^2$, woraus aber wiederum folgt, dass $10|n^2$ bzw. $10|n$. Wenn aber sowohl $10|m$ also auch $10|n$ gilt, kann $ggT(m,n)\ne 1$ nicht stimmen, was aber eine Ausgangsbedingung war. Es liegt ein Widerspruch vor, die Annahme $\sqrt{10}\in \mathbb{Q}$ ist falsch, also muss gelten $\sqrt{10}\notin \mathbb{Q}$.

Nebenbeweis:

Es soll vorkommen, dass gefragt wird wieso $10|m^2⟹10|m$ korrekt ist. Die Antwort findet sich in der Primfaktorzerlegung.

[15.10.2013] Durchdenken kann man sich das ganze auch so: Wenn 10 eine Zahl teilt, so muss diese eine $0$ zum Schluss haben. Existiert nun eine Zahl $z\in \mathbb{N}$, die Quadriert eine $0$ am Ende hat, so muss auch diese ganze Zahl z ein Vielfaches von 10 sein. Jede Zahl die keine 0 als letzte Ziffer hat, hat quadriert auch keine 0 als letzte Ziffer.

Auf Wikipedia existiert eine allgemeine Lösung, welche die Primfaktorzerlegung verwendet. Im Vowi existiert auch eine Diskussion.