TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS13/Beispiel 18

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Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Behauptung:

Beweis: indirekter Beweis durch Widerspruch

Es seit , also eine rationale Lösung der Gleichung , also bzw. . Dabei gilt , und . Nenner und Zähler des Bruch sind also teilerfremd, denn sonst könnte er noch weiter gekürzt werden.

Aus folgt aber bzw. (Für eine genauen Beweis wieso gilt, siehe unten). Das bedeutet aber, dass man setzen kann und erhält damit , bzw. . Das kann man aber kürzen zu , woraus aber wiederum folgt, dass bzw. . Wenn aber sowohl also auch gilt, kann nicht stimmen, was aber eine Ausgangsbedingung war. Es liegt ein Widerspruch vor, die Annahme ist falsch, also muss gelten .


Nebenbeweis:

Es soll vorkommen, dass gefragt wird wieso korrekt ist. Die Antwort findet sich in der Primfaktorzerlegung.

[15.10.2013] Durchdenken kann man sich das ganze auch so: Wenn 10 eine Zahl teilt, so muss diese eine zum Schluss haben. Existiert nun eine Zahl , die Quadriert eine am Ende hat, so muss auch diese ganze Zahl z ein Vielfaches von 10 sein. Jede Zahl die keine 0 als letzte Ziffer hat, hat quadriert auch keine 0 als letzte Ziffer.

Auf Wikipedia existiert eine allgemeine Lösung, welche die Primfaktorzerlegung verwendet. Im Vowi existiert auch eine Diskussion.