TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS13/Beispiel 587

Für die Vektoren x = $(1,2,3)$, y = $(3,-1,2)$ und z = $(2,2,1)$ berechne man

(a) die Längen von x, y und z,

(b) den Winkel $\varphi$ zwischen x und y,

(c) das Volumen des von x, y und z aufgespannten Parallelepipeds.

Lösung(svorschlag)

von --Sk4g3n (Diskussion) 10:45, 14. Apr. 2013 (CEST)

(a)

$\Vert x\Vert ={\sqrt {\langle x,x\rangle }}={\sqrt {1^{2}+2^{2}+3^{2}}}={\sqrt {14}}$

$\Vert y\Vert ={\sqrt {\langle y,y\rangle }}={\sqrt {3^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}}={\sqrt {14}}$

$\Vert z\Vert ={\sqrt {\langle z,z\rangle }}={\sqrt {2^{2}+2^{2}+1}}=3$

(b)

$\cos \varphi ={\frac {\langle x,y\rangle }{\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert }}={\frac {1\cdot 3+2\cdot (-1)+3\cdot 2}{14}}={\frac {1}{2}}$

$\Rightarrow \varphi ={\frac {\pi }{3}}=60^{\circ }$

(c)

Das Volumen des von den Spalten einer Matrix $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ aufgespannten Parallelpipeds ist gleich dem Betrag der Determinate von A.

$A={\begin{pmatrix}x^{T}&y^{T}&z^{T}\end{pmatrix}}$

$V=|\det A|=|1\cdot (-1)\cdot 1+3\cdot 2\cdot 3+2\cdot 2\cdot 2-2\cdot (-1)\cdot 3-3\cdot 2\cdot 1-1\cdot 2\cdot 2|=21$