TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS13/Beispiel 587

Für die Vektoren x = $(1,2,3)$, y = $(3,-1,2)$ und z = $(2,2,1)$ berechne man

(a) die Längen von x, y und z,

(b) den Winkel $\phi$ zwischen x und y,

(c) das Volumen des von x, y und z aufgespannten Parallelepipeds.

Lösung(svorschlag)

von --Sk4g3n (Diskussion) 10:45, 14. Apr. 2013 (CEST)

(a)

$\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$

$\Vert y\Vert =\sqrt{⟨y,y⟩}=\sqrt{3^2+(-1{)}^2+2^2}=\sqrt{14}$

$\Vert z\Vert =\sqrt{⟨z,z⟩}=\sqrt{2^2+2^2+1}=3$

(b)

$\cos \phi =\frac{⟨x,y⟩}{\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert }=\frac{1\cdot 3+2\cdot (-1)+3\cdot 2}{14}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \phi =\frac{\pi }{3}=60^{\circ }$

(c)

Das Volumen des von den Spalten einer Matrix $A\in {ℝ}^{n\times n}$ aufgespannten Parallelpipeds ist gleich dem Betrag der Determinate von A.

$A=\left(\begin{array}{ccc}{x}^T& y^T& z^T\end{array}\right)$

$V=|detA|=|1\cdot (-1)\cdot 1+3\cdot 2\cdot 3+2\cdot 2\cdot 2-2\cdot (-1)\cdot 3-3\cdot 2\cdot 1-1\cdot 2\cdot 2|=21$