TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS13/Beispiel 66

Man beweise mittels Vollständiger Induktion:

$\sum _{j=2}^{n}j(j-1)={\frac {(n-1)n(n+1)}{3}},\quad (n\geq 2)$

Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In den Materialien ganz unformal gelöst zu finden - als Hilfe weil man sich gerade am Anfang schwer tut :-)

Induktionsanfang : Der Induktionsanfang für $n=2$ muss überprüft werden.

$n=2:\quad \sum _{j=2}^{n}j(j-1)={\frac {(n-1)n(n+1)}{3}}$

$2(2-1)={\frac {(2-1)2(2+1)}{3}}$

$2=2$

Induktionsvoraussetzung :

$n:\quad \sum _{j=2}^{n}j(j-1)={\frac {(n-1)n(n+1)}{3}}$

Induktionsbehauptung:

$n+1:\quad \sum _{j=2}^{n+1}j(j-1)={\frac {(n+1-1)(n+1)(n+1+1)}{3}}$

Induktionsschritt:

Zu zeigen ist, dass die Summe auch für $n+1$ gültig ist.

$n\to n+1:\quad \sum _{j=2}^{n+1}j(j-1)={\frac {(n+1-1)(n+1)(n+1+1)}{3}}$

Die Summer der linken Seite kann aufgespalten werden.

$\sum _{j=2}^{n}j(j-1)+(n+1)(n+1-1)={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}$

Unter Zuhilfenahme der Induktionsvoraussetzung kann auf der linken Seite die Summe ersetzt werden, denn wir nehmen an, dass sie für $n$ gültig ist.

${\frac {(n-1)n(n+1)}{3}}+(n+1)n={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}$

Mit Äquivalenzumformungen der linken Seiten zeigen wir nun, dass sie gleich der rechten Seite ist.

Alles auf einen Nenner bringen.

${\frac {(n-1)n(n+1)+3(n+1)n}{3}}={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}$

Im Zähler kann man $(n+1)$ herausheben.

${\frac {(n+1)((n-1)n+3n)}{3}}={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}$

Im Zähler kann man $n$ herausheben.

${\frac {n(n+1)((n-1)+3)}{3}}={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}$

Die beiden Seiten sind gleich. Die Aussage über die Summe ist für $n+1$ bewiesen.

${\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}$