TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 136

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Seien f \colon A \to B und g \colon B \to C injektive Abbildungen. Man zeige, daß dann auch

h = g \circ f \colon A \to C injektiv ist. (g \circ f)(x) = g(f(x))

Hilfreiches[Bearbeiten]

Injektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet":

a_{1}, a_{2}  \in  A, a_{1} \neq a_{2} \Rightarrow f(a_{1}) \neq f(a_{2})

oder äquivalent:

a_{1}, a_{2}  \in  A, f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}

Mathematik für Informatik (4.Auflage): Seite 45, Satz: 1.70

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Zuerst legen wir mal fest, dass gelten soll f(a) = f(b)

Damit kann man folgenden Zusammenhang aufschreiben:

h(a) = (g \circ f)(a) = g(f(a)) = g(f(b)) = h(b)

Aus der Injektivität von g folgt:

g(f(a)) = g(f(b)) \Rightarrow f(a) = f(b)

Und aus der Injektivität von f folgt:

f(a) = f(b) \Rightarrow a = b

Daher kann man zusammenfassend auch schreiben

h(a) = h(b) \Rightarrow a = b

wodurch gezeigt wäre, dass h = g \circ f injektiv ist, wenn g und f injektiv sind.

Alte Lösung[Bearbeiten]

hier der Link auf eine alte Lösung, wo allerdings der Beweis mMn nicht korrekt geführt ist