TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 142

Man zeige, dass die Funktion $f: \mathbb{R \setminus \{\textrm{6}\}} \rightarrow \mathbb{R \setminus \{\textrm{-10}\}}, \quad y=\frac{10x+1}{6-x}$ bijektiv ist, und bestimme ihre Umkehrfunktion.

Hilfreiches

Injektivität

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": $a_{1}, a_{2} \in A, a_{1} \neq a_{2} \Rightarrow f(a_{1}) \neq f(a_{2})$ oder äquivalent: $a_{1}, a_{2} \in A, f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}$

Surjektivität

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: $\forall b\in B\ \exists a\in A: b=f(a)$

Bijektivität

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion $f^{-1}()$. Baustein:Umkehrfunktion

Lösungsvorschlag

Umkehrfunktion

$\begin{align} y & = \frac{10x+1}{6-x} \\ y \cdot (6-x) & = 10x+1 \\ 6y - xy & = 10x + 1 \\ 6y - 1 & = 10x + xy \\ 6y - 1 & = x \cdot (10 + y) \\ \frac{6y-1}{10+y} & = x \end{align}$

$f^{-1}(x) = \frac{6x-1}{10+x}$

Bijektivität

Die Funktion ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Injektivität

Wenn die Funktion injektiv ist, dann müssen zwei idente Funktionswerte den gleichen Ausgangswert besitzen:

$f(x_1)=f(x_2)\Longrightarrow x_1=x_2$

$\begin{align} y(x_1) & = y(x_2) \\ \frac{10x_1+1}{6-x_1} & = \frac{10x_2+1}{6-x_2} \\ (10x_1+1) \cdot (6-x_2) & = (10x_2+1) \cdot (6-x_1) \\ 60x_1 - 10x_1x_2 + 6 - x_2 & = 60x_2 - 10x_1x_2 + 6 - x_1 \\ 60x_1 - x_2 & = 60x_2 - x_1 \\ 61x_1 & = 61x_2 \\ x_1 & = x_2 \end{align}$

Surjektivität

Wenn die Funktion surjektiv ist, dann muss sie für jeden Funktionswert zumindest einen Ausgangswert haben:

$f^{-1}(x) = \frac{6x-1}{10+x} \in \mathbb{R \setminus \{\textrm{-10}\}}$ (wahre Aussage)

Links

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS08/Beispiel 120 (ähnliches Beispiel)