TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 142

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Man zeige, dass die Funktion f: \mathbb{R \setminus \{\textrm{6}\}} \rightarrow \mathbb{R \setminus \{\textrm{-10}\}}, \quad y=\frac{10x+1}{6-x} bijektiv ist, und bestimme ihre Umkehrfunktion.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Injektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": a_{1}, a_{2}  \in  A, a_{1} \neq a_{2} \Rightarrow f(a_{1}) \neq f(a_{2}) oder äquivalent: a_{1}, a_{2}  \in  A, f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}

Surjektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: \forall b\in B\ \exists a\in A: b=f(a)

Bijektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion  f^{-1}(). Baustein:Umkehrfunktion

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Umkehrfunktion[Bearbeiten]


\begin{align}
y & = \frac{10x+1}{6-x} \\
y \cdot (6-x) & = 10x+1 \\
6y - xy & = 10x + 1 \\
6y - 1 & = 10x + xy \\
6y - 1 & = x \cdot (10 + y) \\
\frac{6y-1}{10+y} & = x
\end{align}

f^{-1}(x) = \frac{6x-1}{10+x}

Bijektivität[Bearbeiten]

Die Funktion ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Injektivität[Bearbeiten]

Wenn die Funktion injektiv ist, dann müssen zwei idente Funktionswerte den gleichen Ausgangswert besitzen:

f(x_1)=f(x_2)\Longrightarrow x_1=x_2


\begin{align}
y(x_1) & = y(x_2) \\
\frac{10x_1+1}{6-x_1} & = \frac{10x_2+1}{6-x_2} \\
(10x_1+1) \cdot (6-x_2) & = (10x_2+1) \cdot (6-x_1) \\
60x_1 - 10x_1x_2 + 6 - x_2 & = 60x_2 - 10x_1x_2 + 6 - x_1 \\
60x_1 - x_2 & = 60x_2 - x_1 \\
61x_1 & = 61x_2 \\
x_1 & = x_2
\end{align}

Surjektivität[Bearbeiten]

Wenn die Funktion surjektiv ist, dann muss sie für jeden Funktionswert zumindest einen Ausgangswert haben:

f^{-1}(x) = \frac{6x-1}{10+x} \in \mathbb{R \setminus \{\textrm{-10}\}} (wahre Aussage)

Links[Bearbeiten]