TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 142

Man zeige, dass die Funktion $f:\mathbb {R\setminus \{{\textrm {6}}\}} \rightarrow \mathbb {R\setminus \{{\textrm {-10}}\}} ,\quad y={\frac {10x+1}{6-x}}$ bijektiv ist, und bestimme ihre Umkehrfunktion.

Hilfreiches

Injektivität

Injektivität

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": $a_{1},a_{2}\in A,a_{1}\neq a_{2}\Rightarrow f(a_{1})\neq f(a_{2})$ oder äquivalent: $a_{1},a_{2}\in A,f(a_{1})=f(a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}$

Surjektivität

Surjektivität

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: $\forall b\in B\ \exists a\in A:b=f(a)$

Bijektivität

Bijektivität

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion $f^{-1}()$.

Umkehrfunktion

Lösungsvorschlag

Umkehrfunktion

${\begin{aligned}y&={\frac {10x+1}{6-x}}\\y\cdot (6-x)&=10x+1\\6y-xy&=10x+1\\6y-1&=10x+xy\\6y-1&=x\cdot (10+y)\\{\frac {6y-1}{10+y}}&=x\end{aligned}}$

$f^{-1}(x)={\frac {6x-1}{10+x}}$

Bijektivität

Die Funktion ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Injektivität

Wenn die Funktion injektiv ist, dann müssen zwei idente Funktionswerte den gleichen Ausgangswert besitzen:

$f(x_{1})=f(x_{2})\Longrightarrow x_{1}=x_{2}$

${\begin{aligned}y(x_{1})&=y(x_{2})\\{\frac {10x_{1}+1}{6-x_{1}}}&={\frac {10x_{2}+1}{6-x_{2}}}\\(10x_{1}+1)\cdot (6-x_{2})&=(10x_{2}+1)\cdot (6-x_{1})\\60x_{1}-10x_{1}x_{2}+6-x_{2}&=60x_{2}-10x_{1}x_{2}+6-x_{1}\\60x_{1}-x_{2}&=60x_{2}-x_{1}\\61x_{1}&=61x_{2}\\x_{1}&=x_{2}\end{aligned}}$

Surjektivität

Wenn die Funktion surjektiv ist, dann muss sie für jeden Funktionswert zumindest einen Ausgangswert haben:

$f^{-1}(x)={\frac {6x-1}{10+x}}\in \mathbb {R\setminus \{{\textrm {-10}}\}}$ (wahre Aussage)

Links

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS08/Beispiel 120 (ähnliches Beispiel)