TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 194

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Wie viele natürliche Zahlen n mit 1 \leq n \leq 10^4 gibt es, die durch 9 und 11, aber weder durch 5 und 7 teilbar sind.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Prinzip von Inklusion und Exklusion

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

  • A: Menge aller Zahlen, die durch 9 und 11 teilbar sind (entspr. durch 9*11 = 99 teilbar)
  • B: Menge aller Zahlen, die durch 5 teilbar sind
  • C: Menge aller Zahlen, die durch 7 teilbar sind

Wir wollen alle Elemente von A aber ohne B und C haben =>

 |A| - |A \cap B| - |A \cap C| +  |A \cap B \cap C|

|A| = \frac{10000}{9*11} = 101

|A \cap B| = \frac{10000}{9*11*5} = 20

|A \cap C| = \frac{10000}{9*11*7} = 14

|A \cap B \cap C| = \frac{10000}{9*11*5*7} = 2

101 - 20 - 14 + 2 = 69

69 Zahlen zwischen 1 und 10000 sind durch 9 und 11, aber nicht durch 5 und 7 teilbar.