TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 194

Wie viele natürliche Zahlen n mit $1\leq n\leq 10^{4}$ gibt es, die durch 9 und 11, aber weder durch 5 und 7 teilbar sind.

Hilfreiches

Prinzip von Inklusion und Exklusion

Lösungsvorschlag von mnemetz

• A: Menge aller Zahlen, die durch 9 und 11 teilbar sind (entspr. durch 9*11 = 99 teilbar)
• B: Menge aller Zahlen, die durch 5 teilbar sind
• C: Menge aller Zahlen, die durch 7 teilbar sind

Wir wollen alle Elemente von A aber ohne B und C haben =>

$|A|-|A\cap B|-|A\cap C|+|A\cap B\cap C|$

$|A|={\frac {10000}{9*11}}=101$

$|A\cap B|={\frac {10000}{9*11*5}}=20$

$|A\cap C|={\frac {10000}{9*11*7}}=14$

$|A\cap B\cap C|={\frac {10000}{9*11*5*7}}=2$

$101-20-14+2=69$

69 Zahlen zwischen 1 und 10000 sind durch 9 und 11, aber nicht durch 5 und 7 teilbar.