TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 194

Wie viele natürliche Zahlen n mit $1 \leq n \leq 10^4$ gibt es, die durch 9 und 11, aber weder durch 5 und 7 teilbar sind.

Hilfreiches

Prinzip von Inklusion und Exklusion

Lösungsvorschlag von mnemetz

• A: Menge aller Zahlen, die durch 9 und 11 teilbar sind (entspr. durch 9*11 = 99 teilbar)
• B: Menge aller Zahlen, die durch 5 teilbar sind
• C: Menge aller Zahlen, die durch 7 teilbar sind

Wir wollen alle Elemente von A aber ohne B und C haben =>

$|A| - |A \cap B| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|$

$|A| = \frac{10000}{9*11} = 101$

$|A \cap B| = \frac{10000}{9*11*5} = 20$

$|A \cap C| = \frac{10000}{9*11*7} = 14$

$|A \cap B \cap C| = \frac{10000}{9*11*5*7} = 2$

$101 - 20 - 14 + 2 = 69$

69 Zahlen zwischen 1 und 10000 sind durch 9 und 11, aber nicht durch 5 und 7 teilbar.