TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 195

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Wie viele natürliche Zahlen n mit 1 \leq n \leq 10^4 gibt es, die durch 3, 5 und durch 7, aber weder durch 9 und 11 teilbar sind.

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

  • A: Menge aller Zahlen, die durch 3 und 5 und 7 gleichzeitig teilbar sind (entsprechend durch 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105 teilbar)
  • B: Menge aller Zahlen, die durch 9 teilbar sind
  • C: Menge aller Zahlen, die durch 11 teilbar sind

Wir wollen alle Elemente von A aber ohne B und C haben:

|A| - |A \cap B| - |A \cap C| +  |A \cap B \cap C|

|A| = \frac{10000}{3 \cdot 5 \cdot 7} = 95

|A \cap B| = \frac{10000}{kgV(3, 9, 5, 7)} = \frac{10000}{9 \cdot 5 \cdot 7} = 31

|A \cap C| = \frac{10000}{kgV(3, 5, 7, 11)} = \frac{10000}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11} = 8

|A \cap B \cap C| = \frac{10000}{kgV(3, 9, 5, 7, 11)} = \frac{10000}{9 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11} = 2

\Rightarrow 95 - 31 - 8 + 2 = 58