TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 415

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Sei \langle R,+, \cdot \rangle ein Ring mit Einselement und E(R) die Menge derjenigen Elemente in R, die bezüglich der Multiplikation ein inverses Element besitzen. Zeigen Sie, dass E(R) mit der Multiplikation eine Gruppe bildet (die Einheitengruppe von R).

Lösungsvorschlag von Ryus[Bearbeiten]

Hilfreiches[Bearbeiten]

Eine algebraische Struktur (G, \cdot ) heißt Gruppe, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

  • G ist abgeschlossen: a, b \in G \implies a\cdot b \in G
  • G ist assoziativ: a, b, c \in G \implies a\cdot (b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c
  • G besitzt ein neutrales Element
  • G besitzt zu jedem Element a ein Inverses

Wenn a und b Elemente einer Gruppe sind gilt:

(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}

Siehe Beispiel 362

Lösung[Bearbeiten]

Wie immer müssen wir die Assoziativität nicht prüfen, sie vererbt sich automatisch vom Ring auf alle Teilmengen (Zur Erinnerung: Die Multiplikation im Ring ist eine Halbgruppe, also eine assoziative algebraische Struktur)

Dass jedes Element aus E(R) ein Inverses hat, ist durch die Definition von E(R) gegeben. Schließlich enthält laut Angabe E(R) alle Elemente, die ein multiplikatives Inverses besitzen.

Damit ist auch gegeben, dass das Einselement in E(R) liegen muss, da 1 als das neutrale Element der Multiplikation zu sich selbst invers ist.

Nun fehlt nur noch die Abgeschlossenheit. Wenn wir Elemente a, b aus E(R) haben, liegt dann ab auch in E(R)?

Dazu überlegen wir uns nochmal, welche Elemente in E(R) liegen. Ein Element aus R liegt laut Angabe genau dann in E(R), wenn es ein Inverses hat. Wenn wir also zeigen können, dass ab in R ein multiplikativ Inverses hat, dann wissen wir auch, dass ab in E(R) liegt.

Da wir wissen, dass a und b jeweils Inverse besitzen, können wir jedoch leicht ein Inverses zu ab - ich nenne es im folgenden x - finden, indem wir uns des Assoziativgesetzes bedienen und jeweils von links mit den Inversen multiplizieren:

(ab)x = 1

a(bx) = 1

bx = a^{-1}

x = b^{-1}a^{-1}

Das Inverse zu ab ist also b^{-1}a^{-1} (dieses ist aufgrund der Abgeschlossenheit des Rings sicher im Ring enthalten). Für eine andere Art zu zeigen, dass dieses in einer assoziativen algebraischen Struktur tatsächlich das Inverse ist, siehe Beispiel 362.

Also besitzt ab ein multiplikativ inverses Element und liegt daher in E(R).

Somit ist bewiesen, dass E(R) abgeschlossen ist und damit eine Gruppe ist.

Lösung ohne Garantie.

--Ryus (Diskussion) 22:28, 22. Sep. 2015 (CEST)