TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 423

Sei $\langle R,+,\cdot \rangle$ ein Ring mit Einselement und $E(R)$ die Menge derjenigen Elemente in R, die bezüglich der Multiplikation ein inverses Element besitzen. Zeigen Sie, dass $E(R)$ mit der Multiplikation eine Gruppe bildet (die Einheitengruppe von $R$).

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Lösungsvorschlag von Ryus

Hilfreiches

Eine algebraische Struktur $(G,\cdot )$ heißt Gruppe, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

• G ist abgeschlossen: $a,b\in G\implies a\cdot b\in G$

• G ist assoziativ: $a,b,c\in G\implies a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

• G besitzt ein neutrales Element

• G besitzt zu jedem Element a ein Inverses

---

Wenn a und b Elemente einer Gruppe sind gilt:

$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$

Siehe Beispiel 362

Lösung

Wie immer müssen wir die Assoziativität nicht prüfen, sie vererbt sich automatisch vom Ring auf alle Teilmengen (Zur Erinnerung: Die Multiplikation im Ring ist eine Halbgruppe, also eine assoziative algebraische Struktur)

Dass jedes Element aus $E(R)$ ein Inverses hat, ist durch die Definition von $E(R)$ gegeben. Schließlich enthält laut Angabe $E(R)$ alle Elemente, die ein multiplikatives Inverses besitzen.

Damit ist auch gegeben, dass das Einselement in $E(R)$ liegen muss, da 1 als das neutrale Element der Multiplikation zu sich selbst invers ist.

Nun fehlt nur noch die Abgeschlossenheit. Wenn wir Elemente $a$, $b$ aus $E(R)$ haben, liegt dann $ab$ auch in $E(R)$?

Dazu überlegen wir uns nochmal, welche Elemente in $E(R)$ liegen. Ein Element aus $R$ liegt laut Angabe genau dann in $E(R)$, wenn es ein Inverses hat. Wenn wir also zeigen können, dass $ab$ in $R$ ein multiplikativ Inverses hat, dann wissen wir auch, dass $ab$ in $E(R)$ liegt.

Da wir wissen, dass $a$ und $b$ jeweils Inverse besitzen, können wir jedoch leicht ein Inverses zu $ab$ - ich nenne es im folgenden $x$ - finden, indem wir uns des Assoziativgesetzes bedienen und jeweils von links mit den Inversen multiplizieren:

$(ab)x=1$

$a(bx)=1$

$bx=a^{-1}$

$x=b^{-1}a^{-1}$

Das Inverse zu $ab$ ist also $b^{-1}a^{-1}$ (dieses ist aufgrund der Abgeschlossenheit des Rings sicher im Ring enthalten). Für eine andere Art zu zeigen, dass dieses in einer assoziativen algebraischen Struktur tatsächlich das Inverse ist, siehe Beispiel 362.

Also besitzt $ab$ ein multiplikativ inverses Element und liegt daher in $E(R)$.

Somit ist bewiesen, dass $E(R)$ abgeschlossen ist und damit eine Gruppe ist.

Lösung ohne Garantie.

--Ryus (Diskussion) 22:28, 22. Sep. 2015 (CEST)