TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 44

Für welche komplexen Zahlen gilt $\overline{z}=\frac{1}{z}$?

Hilfreiches

Konjugation einer komplexen Zahl

Bei der Konjugation einer komplexen Zahl wird der Imaginärteil invertiert.

• Kartesische Darstellung: $z=(a, \mathsf{i}b)\;\Rightarrow\;\overline{z}=(a, -\mathsf{i}b)$
• Polardarstellung: $z=[r, \varphi]\;\Rightarrow\;\overline{z}=[r, -\varphi]$

Umrechnung komplex

Umrechnung von komplexen Zahlen:

• Kartesische $\longrightarrow$ Polar-Darstellung: $\;(a, \mathsf{i}b)\;\rightarrow\;[r, \varphi]:$

$r=\sqrt{a^2+b^2},$

$\varphi=\begin{cases} \arctan\frac{b}{a}&a>0\qquad\text{(I., IV. Quadrant)}\\ \arctan\frac{b}{a}+\pi&a<0, b>0\quad\text{(II. Quadrant)}\\ \arctan\frac{b}{a}-\pi&a<0, b<0\quad\text{(III. Quadrant)} \end{cases}$

• Polare $\longrightarrow$ kartesische Darstellung: $\;[r, \varphi]\;\rightarrow\;(a, \mathsf{i}b):\quad \begin{cases}a=r\cdot\cos\varphi\\b=r\cdot\sin\varphi\end{cases}$

Lösung von Baccus

Einfache Lösung in Polardarstellung:

$\bar{z}$ ist die zu $z$ konjugiert komplexe Zahl, d.h.:

$z = a + bi = (a, b) = [r, \varphi] \Longrightarrow$

$\bar{z} = a - bi = (a, -b) = [r, -\varphi]$.

$1/z = \frac{[1, 0]}{[r, \varphi]} = [1/r, 0-\varphi]$ (Rechenregel: Division in Polardarstellung).

Aufgabe war: $\bar{z} = 1/z$:

Radius: $\begin{cases}r_{\bar{z}}=r\\ r_{1/z}=1/r\end{cases} \Rightarrow r = 1/r \Longrightarrow r=1$

Winkel: $\begin{cases}\varphi_{\bar{z}}=-\varphi\\\varphi_{1/z}=-\varphi\end{cases} \Rightarrow -\varphi = -\varphi$, d.h. keine Einschränkungen für $\varphi$.

Fazit: $z$ muß bei beliebigem Phasenwinkel $\varphi$ den Radius $r$ = 1 haben (d.h. auf dem Einheitskreis liegen).

--Baccus 05:33, 26. Nov 2006 (CET)

Lösung von mnemetz

f.thread:48263

Als z' bezeichne ich die konjugiert komplexe von z.

z' = 1/z

a - bi = 1/(a + bi) | *(a + bi)

(a - bi) * (a + bi) = 1

a^2 + abi -abi - (bi)^2 = 1

a^2 - b^2*i^2 = 1

a^2 + b^2 = 1

a^2 + b^2 ist der Betrag von z.

Also gilt z' = 1/z wenn |z| = 1.

EDIT: sqrt(a² + b²) ist der Betrag von z.

Lösung von Hapi

$\bar{Z}$ = 1/Z

Welche komplexen Zahlen werdern dadurch repräsentiert?

$\bar{Z}$ (Z mit Querstrich darüber) bedeutet die konjugiert komplexe Zahl von Z, dh:

$\bar{Z}$ = a - bi und Z = a + bi , (Real und Imaginärteil).

Ausmultipliziert lautet der Term:

$\bar{Z}$ * Z = 1 = (a – bi)*(a + bi) = (a² + b²) = 1

$\sqrt{a^2 + b^2}$ = 1 = |Z|, = (Radius des Vektors)

Formel Z = |Z| * (cos$\phi$ -i.sin$\phi$), = Polarkoordianten [1,$\phi$]

cos $\phi$ = |Z| /a,

sin $\phi$ = |Z| /b

Das bedeutet, daß $\phi$ jeden Wert zwischen 0 und 2$\pi$ annehmen kann, der wegen der Radiuslänge 1 auf dem Einheitskreis liegt.

Hapi

Lösung von Thomas

Die einfachste Lösung aus dem SS09:

$\overline{z}=\frac{1}{z}\qquad \qquad //\ast z$

$\overline{z}\ast z=1\qquad //\overline{z}\ast z=\left\vert z\right\vert ^{2}$

$\Longrightarrow \left\vert z\right\vert ^{2}=1$

$\Longrightarrow \left\vert z\right\vert =1$

Thomas

Links

• Diskussion im UE-Forum

Wikipädia:

• Komplexe Zahlen
• Konjugiert komplexe Zahlen
• Division von komplexen Zahlen