TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 448

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Bildet  \mathbb{R}^2 mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über \mathbb{R}?

(x_1, x_2) + (y_1, y_2) = (0, x_2 + y_2), \lambda (x_1, x_2) = (0, \lambda x_2)

Allgemein[Bearbeiten]

Ein Vektorraum (V, +, K), wobei K ein Körper ist und (V, +) eine abelsche Gruppe bildet, erfüllt folgende Eigenschaften:

 \forall \vec{x} , \vec{y} \in V, \forall \lambda, \mu \in K

-) \lambda * (\vec{x} + \vec{y}) = \lambda  \vec{x} + \lambda  \vec{y}

-) (\lambda + \mu)*\vec{x} = \lambda  \vec{x} + \mu  {x}

-) (\lambda * \mu) * \vec{x} = \lambda * (\mu \vec{x})

-) 1* \vec{x} = \vec{x}

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Überprüfen ob (V, +) eine abelsche Gruppe ist:

Abgeschlossenheit[Bearbeiten]

(x_1, x_2) + (y_1, y_2) = (0, x_2 + y_2)

Da hier wieder ein Vektor raus kommt, ist es abgeschlossen.

Assoziativgesetz[Bearbeiten]

(x_1, x_2) + ((y_1, y_2) + (z_1, z_2)) = ((x_1, x_2) + (y_1, y_2)) + (z_1, z_2) = (0, x_2 + y_2 + z_2)

Assoziativ, da Addition assoziativ ist.

neutrales Element[Bearbeiten]

(x_1, x_2) + (e_1, e_2) = (0, x_2 + e_2) = (0, x_2)

laut Definition sollte aber:

(x_1, x_2) + (e_1, e_2) = (x_1, x_2)

rauskommen.

Somit bildet \mathbb{R}^2 mit der angegebenen Operation kein Vektorraum über \mathbb{R}.