TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 456

Bildet $\mathbb {R} ^{2}$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $\mathbb {R}$?

$(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})=(0,x_{2}+y_{2}),\lambda (x_{1},x_{2})=(0,\lambda x_{2})$

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Allgemein

Ein Vektorraum $(V,+,K)$, wobei $K$ ein Körper ist und $(V,+)$ eine abelsche Gruppe bildet, erfüllt folgende Eigenschaften:

$\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$

-) $\lambda *({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$

-) $(\lambda +\mu )*{\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$

-) $(\lambda *\mu )*{\vec {x}}=\lambda *(\mu {\vec {x}})$

-) $1*{\vec {x}}={\vec {x}}$

Lösungsvorschlag

Überprüfen ob $(V,+)$ eine abelsche Gruppe ist:

Abgeschlossenheit

$(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})=(0,x_{2}+y_{2})$

Da hier wieder ein Vektor raus kommt, ist es abgeschlossen.

Assoziativgesetz

$(x_{1},x_{2})+((y_{1},y_{2})+(z_{1},z_{2}))=((x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2}))+(z_{1},z_{2})=(0,x_{2}+y_{2}+z_{2})$

Assoziativ, da Addition assoziativ ist.

neutrales Element

$(x_{1},x_{2})+(e_{1},e_{2})=(0,x_{2}+e_{2})=(0,x_{2})$

laut Definition sollte aber:

$(x_{1},x_{2})+(e_{1},e_{2})=(x_{1},x_{2})$

rauskommen.

Somit bildet $\mathbb {R} ^{2}$ mit der angegebenen Operation kein Vektorraum über $\mathbb {R}$.