TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 471

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Zeigen Sie, dass in jedem Vektorraum V über dem Körper K für alle a \in V, \lambda \in K gilt:

(- \lambda )a = -( \lambda a )

Lösungsansatz[Bearbeiten]

Anmerkung: Ich bin nicht sicher, ob man das so machen kann. Falls jemand dafür oder dagegen ist, bitte ich um Feedback zu diesem Ansatz. mfg, W wallner

Wichtig ist der Unterschied zwischen 0_K und 0_V.

0_K bezeichnet das neutrale Element bezüglich der Addition im Körper K. Also ist 0_K ein Skalar.

0_v ist der Nullvektor, der enthält lauter 0_K.

Wenn man einen beliebigen Vektor mit 0_K multipliziert, erhält man den Nullvektor. Der Grund dafür ist, dass im K ein Körper ist. Und in Ringen (und somit auch in Körpern) ergibt die Multiplikation mit dem neutralen Element der Addition immer das neutrale Element der Addition. Der Beweis steht im Buch auf Seite 81, ungefähr in der Mitte:

a.0 = a.0
a.0 = a.(0+0)
a.0 = a.0 +  a.0 // -(a.0)
a.0 -a.0 = a.0 +  a.0 -a.0
0 = a.0

Damit können wir jetzt den in der Angabe geforderten Beweis führen:

 0_V = 0_V 
 a.0_K = 0_V 
 a.( \lambda + (- \lambda )) = 0_V 
 a.\lambda + a.(-\lambda) = 0_V 
 a.\lambda - a.\lambda + a.(-\lambda) ) = 0_V - a.\lambda 
 a.(-\lambda) ) = - a.\lambda 

mfg, W wallner

Lösungsvorschlag von m4rS[Bearbeiten]

Hab auch ne Idee wie mans rechnen könnte u genauso keine Ahnung obs so stimmt ;) (bzw egentlich würd ichs eh genauso rechnen wie oben) Wichtig ist auch die Def 3.2 im Buch mMn

 Also \lambda liegt in K, daher gibts ein Inverses = -\lambda (bzw --\lambda=+\lambda invers zu -\lambda
Jetzt addiere ich auf beiden Seiten -\lambda*a, kommt (-lambda)*a+(--lambda*a)=0 raus

Daher ist (-lambda*a) auch das Inverse zu (-lambda)*a u da es in jeder Gruppe usw nur ein Inverses zu jedem Element geben kann, folgt daraus, dass die beiden ident sind

Links[Bearbeiten]